益智益囊集──方形的月亮


1980年 7月127期｜上一篇｜下一篇＃發行日期：1980、07 ＃期號：0127 ＃專欄：益智益囊集＃標題：益智益囊集──方形的月亮＃作者：曹亮吉．圖一．圖二．圖三．圖四．圖五．圖六．圖七．圖八．圖九		益智益囊集──方形的月亮多煞風景，方形的月亮？月亮使人聯想到圓，而一般人總認為圓的和方的扯不上關係，甚至是對立的，譬如用「圓形臉」、「方形臉」描述臉型，用「圓滑」、「方正」描述個性。但當我們談到圓形的面積，卻總免不了平「方」公尺，平「方」公分等等，所以就數學而言，圓的和方的不是截然無關。面積的度量總以某種正方形為單位，我們可以假設單位正方形的邊長為1。如果長方形的長、寬各為3和2，則此長方形可以分割成3×2＝6個單位正方形，所以我們說它的面積為3×2＝6。如果長方形的長、寬各為1.7和1.4，則它可分成17×14＝238個邊長為1/10的小正方形，而其中的200個可以湊成2 個單位正方形。所以長方形共含2個單位正方形及38個邊長為1/10的小正方形，而以1.7×1.4＝2.38表其面積。如果長方形R的長、寬各為√3=1.732……和√2=1.414……這類無窮小數，那麼它的面積如何用單位正方形來度量呢？我們只好訴諸極限的觀念：如圖一，在長方形R的兩邊各截1.7及1.4的長度，則R含有1.7×1.4＝2.38單位面積及一小部分面積R₁ ；同理R的面積＝1.73×1.41+R₂＝1.732×1.414+R₃=………，而R₁、R₂、R₃……會趨近於0。所以我們以1.732…×1.414…=√3×√2來表示長方形R的面積。儘管長、寬各為a及b的長方形，其面積規定為a×b看起來理所當然，但其中已經隱含極限觀念。給了長度a與b，我們可以用圓規、直尺做其比例中項的長度c，c²=ab，則以a，ｂ為邊的長方形和以c為邊的正方形有相等的面積。三角形的面積為1/2底乘高，亦即等於以1/2底及高為兩邊的長方形面積，其幾何意義如圖二所示。任意多邊形的面積等於所含三角形的面積和，而其中的任一三角形要和以此三角形的1/2底×高及1為兩邊的長方形等積。把這些一邊為1的長方形接在一起，就成了一個和原來多邊形等積的長方形；而此長方形又轉而和一正方形等積，且後者可以根據原來多邊形的資料，用幾何做圖法求得。由直線所圍成的多邊形，其面積和正方形有上述的關聯，那么由曲線所圍成的面積呢？給了一個圓，是否可以根據其半徑，而用幾何作圖法求得與其等積的正方形（或長方形，或多邊形）呢？這就是有名的方圓的問題。（此處「方」字為動詞；方圓就是將圓化方的意思。）若圓和某正方形等積，則πr²=c²，其中π為圓周率，r為半徑，c為正方形的邊長。如果c可以根據r經作圖求得，則π=c²/r²亦然。方圓問題自古希臘開始，歷經兩千餘年，到1882年，Lindermann證明π為超越數之後，才確定為不可解。雖然方圓問題不可解已成定論，但仍然有許多外行人還孜孜於此問題的研究，妄求將圓化方的幾何方法。這種人我們稱為方圓者。對方圓者而言，方形的月亮正是夢寐以求之物，一點都不煞風景。西元前五世紀的希臘人Hippocrates of Chios在方圓的嘗試過程中，欲將某些彎月形化方成功。所謂彎月形就是兩圓相交時，在一圓內而在另一圓外的部分（見圖三）。一弓形的弦與過其端點而切於弧的直線，兩者的交角稱為弓形角。彎月形的內（外）弧與弦AB所成的內（外）弓形角上∠CAB（∠DAB）可以完全描述一彎月形（見圖四）。假設一彎月形的內、外弓形角各為45°及90°，即內弧與外弧各為1/4圓及半圓（見圖五）。此時，過端點A、B而與內弧相切的兩條直線，必交於外弧的中點C。因弓形ACE的弓形角也是45°，所以由「等弓形角的弓形面積比等於半徑平方比，也等於弦平方比」的定理，知弓形ACE：弓形ABD=AC²:AB²，同理弓形BCF：弓形ABD=BC²:AB²，因此（弓形ACE十弓形BCF）：弓形ABD=(AC²+BC²):AB²=1 即弓形ACE＋弓形BCF＝弓形ABD 。兩邊各加相同的面積，就得知彎月形ADBC和三角形ABC等積，因而可以化方。又如圖六，假設C₁、C₂將弧三等分，且AC₁、AB的長度s及d的關係為3s²=d²。作弧ADB使弓形ABD與弓形AC₁E的弓形角相等，則弓形AC₁E：弓形ABD=s²:d²=1:3。因此，以AC₁、C₁C₂、C₂B為弦的三個弓形和要與弓形ABD等積。各加由弧ADB、直線AC₁、C₁C₂、C₂B所圍成的面積，就知彎月形ADBC₁和梯形AC₁C₂B等積，這又是一個由Hippocrates化方成功的例子。上面兩種彎月形可看成一類，其一般形狀可以這麼描述：設d為已知長度，k為大於1的正整數，則可造出一弓形AC₁C₂…C_k-1B，使得AB長為d，AC₁、C₁C₂、…、C_k-2C_k-1、C_k-1B、長都為d/√k。作弧ADB使弓形ABD與以AC₁為弦的弓形有相等的弓形角，則彎月形ADBC₁和多邊形AC₁C₂…C_k-1B等積。這個彎月形的內、外弓形角，可由三角計算求得（習題1）。反之，若一彎月形有這樣大小的內、外弓形角，則很容易經由作圖得到與之等積的多邊形。雖然還有許多彎月形可以化方，但並不是任何彎月形都可以。譬如，弓形角各為30°及90°的彎月形就不行。在圖七中，弧ACDB為半圓，C、D三等分此半圓，以AC、CD、DB為直徑各作半圓，則梯形ABDC的面積等於三個彎月形（斜線部分）的面積加上以AC為直徑的圓面積（習題2），亦即，三個彎月形及一個圓合起來可以化方。如果這種彎月形可以化方，則圓也就可以了。舉頭望明月，低頭思化方。可化方乎，不可化方乎？難言也。在積分學（用極限方法化方）還未成熟前，幾何化方，是求積的主要方法，但因其所用工具只限於圓規與直尺，終究成不了氣候。等到有了積分學，幾何化方就成了消遣數學；而且用積分學的結果，許多由曲線所圍成的面積就很容易用幾何方法化方。阿基米德求得拋物線弓形面積的方法就是一個漂亮的例子（見圖八）：設M為拋物線弓形的底邊AB的中點，過M而平行於拋物線軸的直線交弧於C，則由積分學知弓形的面積要等於△ACB的4/3倍。因此拋物線弓形可以化方。幾何方法既然成了消遣數學，我們不妨以消遣性的幾何化方問題，做為本文的結尾：花瓶的曲線在A 、B兩點以下是3/4圓（見圖九），在這兩點以上，則是三個1/4圓，而這些圓的半徑都相等，請問這個花瓶可以幾何化方嗎？方形的花瓶？！（事實上可以把花瓶分成三塊，再湊成一正方形！）曹亮吉現任教於台大數學系，本刊編輯委員。
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