怎麼說它有多彎？


1985年09月189期｜上一篇｜下一篇＃發行日期：1985、09 ＃期號：0189 ＃專欄：益智益囊集＃標題：怎麼說它有多彎？＃作者：曹亮吉．圖一．圖二．圖三		怎麼說它有多彎？曲線與曲面的特性在其彎曲。在數學上，我們不但要說它們是彎曲的，而且還得說它們彎曲到什麼程度。衡量彎曲的程度，在數學上叫做曲率。我們先談平面曲線的曲率。先說直線，它到處都平直不彎曲，所以曲率到處都是0。再看圓，一個圓的彎曲程度到處都一樣，所以曲率是個常數；但大的圓比小的圓平直些，所以大的圓的曲率要較小的來得小。若大小兩圓的半徑各為R及r，則同樣繞了一圈（彎曲了一圈），大圓要花去2πR的弧長，而小圓則為 2πr，所以 1/R 與 1/r 應該可以描述大小兩圓的彎曲程度，也就是說圓的半徑的倒數，就是圓的曲率。以上是就整個圓而討論的。就局部而言，圓的彎曲可以其切線斜角的變化來衡量。斜角的變化與弧長的變化之商代表曲度的平均變化率，如圖一，設圓O的半徑為R，我們很容易看出來：從P點到Q點切線斜角的變化θ正好是∠POQ，而弧長的變化正好是Rθ，兩者之商所以圓的曲率恒為 1/R。推廣到一般的曲線上，如圖二，我們可以考慮曲線從P點到Q點切線斜角的變化θ，將其除以弧長，然後讓Q點逼近P點，如此所得的極限值就稱為曲線在P點的曲率，顯而易見的是：由此定義所得的直線曲率為0，而圓的曲率為其半徑的倒數。從微分的觀點來看，曲線 y＝f(x) 的曲率可看成切線斜角θ＝tan^-1f'(x) 對弧長的變化率，所以公式要含f(x)的一次及二次導函數。牛頓等人首先導出正確的公式：以拋物線 y＝af(x)＝ax²為例，則因 f'(x)＝2ax, f(x)''＝2a，所以曲率為 2a／(1＋4a²x²)^3/2。當 x＝0時，亦即在拋物線的頂點處，曲率的值最大（＝2a），而當P點離頂點愈遠，亦即x的絕對值愈大時，曲率愈小，這正符合我們對拋物線彎曲變化的印象。我們可以把曲率做另一種幾何式的解釋：以P點為新坐標系統的原點，過P點的切線為新的x軸，則曲線的新的函數y＝f(x)在P點，即x＝0處的導函數為0（因為切線就是x軸），所以曲率為 f''(0)。而此時y＝f(x)的Taylor展式為所以曲率如圖三，y代表Q點到切線的距離QS， x則為PQ在切線上的投影PS，曲率變成這樣的幾何解釋和坐標系統無關。如果用拋物線原來的公式y＝f(x)＝ax²，P＝(x₀﹐y₀)，Q＝（x ﹐y），則因切線方程式為 y－y₀＝2ax₀(x－x₀)，由此可算得QS ﹐PS，經整理後得當Q→P，即 x→x₀時，我們就得到拋物線原來的曲率公式。有時候曲線的方程式以參數來表示比較方便：x ＝x(θ)， y ＝y(θ)，這時候的曲率公式則為以橢圓x＝a cos θ， y＝b sin θ為例，則假定 a＞b＞0，則θ＝0，π時，曲率（）為最大，而當，時，曲率（）為最小，這和橢圓彎曲給我們的印象相符。（如果a＝b＞0，則曲率永遠是，這正是半徑為a的圓。）再看雙曲線：x＝a sec θ， y＝b tan θ，此時【瀏覽原件】這裏的曲率之所以為負的原因是這樣的：弧長的方向以參數θ增加的方向為準，而順著這樣的方向，曲線一直在切線的右邊，所以切線的斜角（是θ的函數，但不是θ本身）一直在減少，其相對於弧長的變化率是為負值，因此曲率為負。如果 x＝a sec θ， y＝－b tan θ，則這組參數方程式仍然表示雙曲線，只是當參數增加時，曲線是左彎的（曲線在切線的左側），而根據曲率公式算得的曲率則為正數。我們的結論是這樣的：曲率的絕對值表示曲線彎曲的程度，曲率的正負則表示彎曲的方向（以參數為準）。回到原來雙曲線的曲率公式，我們發現在頂點時，即 θ＝0，π，曲率的絕對值最大（）。而當曲線離開頂點愈遠，即｜θ｜愈大，則曲率的絕對值愈小，而終於趨近於0，這與雙曲線圖形給我們的印象相符。以上所談的都是平面中的曲線。空間中的曲線除了彎曲外，還得看它扭離平面的程度，討論起來非常複雜，我們就擱下不談。在曲線上可以談曲率的先決條件是要有切線，而且切線的變化率也要存在；換句話說，曲線的函數要有二次以上的導函數。同樣的，要在曲面上討論曲率，我們要求它們的函數要有二次以上的偏導函數。過這樣曲面上的任一點都有切平面；垂直於切平面而過切點的直線稱為法線。我們考慮一個含此法線的平面，它與曲面截成一曲線。我們可以以法線為軸，將此平面旋轉φ角 (0≦φ≦π) 就得到所有的含此法線的平面。這些平面與曲面相截所得一連串曲線所呈現的各個曲率K(φ)全體，可做為曲面在該點的曲率。也許直覺上我們會認為K(φ)的變化可以非常大，它如何能有效地描述一曲面的彎曲程度呢？其實只要稍加說明，我們會發現K(φ)，0≦φ≦2π，之間有簡單的關係。首先，我們知道在常態下（假設曲面有連續的二次偏導函數）， K(φ)為φ的連續函數。但K(0)＝K(2π)，所以所有的K(φ)值組成實數上的一個閉區間〔K₁, K₂〕。也就是說K(φ)有最大值K₁，最小值K₂，而其他的K(φ)值都落在兩者之間，而且兩者之間的任何值都是某個K(φ)值。不但這樣，Euler還發現K(φ)有如下的性質：若以K₁的方向為 φ＝0，即K(0)＝K₁，則，亦即曲率最大及最小的兩個方向互相垂直。更有進者，在這種方向取法下， K(φ)＝K₁ con²φ＋k₂ sin²φ。要證明這個Euler的定理並不難。只要回到我們談過的曲線曲率的另一種幾何解釋就好：我們取所考慮的點為原點，該點的切平面為 x-y 面，則代表曲面的函數，其Taylor展式的常數項及一次項都要消失，所以 z＝Ax²＋2Bxy＋Cy²＋高次項更進一步，我們可以在切平面上選擇適當的x軸及y軸，使得B＝0（轉軸方法），因此 z＝Ax²＋Cy²＋高次項設x＝ r cos φ ﹐y＝ r sin φ為含法線的平面，則相截的曲線為 z＝ r²(A cos² φ＋C sin² φ)＋高次項所以若A≧C，則A＝K₁為 K(φ)的最大值，而 C＝k₂為最小值。（若A＜C，則將x, y對掉即可。）我們來看一下幾個熟悉曲面的曲率。球的法線都過球心，含法線的平面截球面所成的曲線就是球面上的大圓弧，所以K(φ) 恒等於球半徑的倒數。再看半徑為R的圓柱面。因為整個曲面總是在切平面的同一側，因此K(φ)都是同號，可以假定都不小於0。當含法線的平面與圓柱的軸平行時，它與圓柱面相截成一直線，所以此時K(φ)＝0，因此K(φ)的最小值 K₂＝0，而 K(φ)＝K₁ cos²φ。K₁＝K(0)發生在與圓柱軸垂直的方向，此時的曲線是半徑為R的圓，因此 K₁＝1/R。如此可得事實上，當平面與軸成角時，相截曲線為橢圓，其長軸為R sec φ，短軸為R，切點正好是短軸的頂點，所以曲率為這和Euler的結果相符。同理，圓錐面也有相同的曲率公式，只是R代表的是在切點，與軸相垂直所截圓的半徑。再看雙曲拋物面的原點（馬鞍點），含法線的平面x＝ r cos φ，y＝r sin φ與曲面相截成拋物線：（時為直線），所以我們發現它們互為異號，這正表示切點附近的曲面同時會出現在切平面的兩側。 K₁，K₂稱為曲面在切點的主曲率，它們當然完全標示曲面在該處彎曲的程度。如果令H＝1/2 (K₁＋K₂)，K₁＝K₁K₂，則H與K當然也同樣標示曲面的彎曲程度，而且對某些問題而言，H或K有時更具重要意義，而成為微分幾何學探討的重要對象。（H稱為均曲率，K稱為Gauss曲率。）曹亮吉任教於台灣大學數學系，本刊編輯委員
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