＃發行日期：1990、3
＃期號：0243
＃專欄：曲線的世界
＃標題：三尖內擺線
＃作者：趙文敏
．圖一
．圖二
．圖三
．圖四
．圖五
．圖六
．圖七
．圖八
三尖內擺線
【摘要】三尖內擺線也稱為Steiner內擺線，它與三角形的Simson線（1797年）、Feuerbach的九點圓（1822年）、Morley的角三等分線定理（1899年）都扯上關係。
本刊去年十二月號的〈擺線及其他〉（下）一文中，我們介紹了內、外擺線的性質。在這類曲線中，有些特殊情形與其他幾何性質有密切關係，「三尖內擺線」（three-cusped hypocycloid）就是其中一個例子。三尖內擺線的外形很像希臘字母△（見圖一的ABC），所以有人將這種曲線稱為deltoid。
將一個半徑為a的小圓，沿著一個半徑為3a的大圓的內部作沒有滑動的滾動，在滾動過程中，小圓圓周上的每個定點所描繪的曲線就是三尖內擺線。
若將滾動圓（即小圓）的半徑改成2a，固定圓（即大圓）的半徑仍為3a，則小圓圓周上的定點在滾動過程中所描繪的曲線仍是三尖內擺線。
在相同樣的滾動過程中，小圓上的一條定直徑所包絡出來的曲線，也是大小相同的三尖內擺線。在圖一中，線段P'P''就是直徑在滾動過程中的某個位置，它與三尖內擺線切於P點。
若固定圓的方程式為x2+y2=9a2，滾動圓在出發前的位置是(x-2a)2+y2=a2而定點為A（a,0），則所得的三尖內擺線可用下述參數方程式來表示：
【瀏覽原件】 （1）
方程式（1）所代表的三尖內擺線，其全長為16a，所圍的區域的面積為2πa2 。
方程式（1）所代表的三尖內擺線，其漸屈線乃是將它放大三倍後，再旋轉π/3或π而得。因此，其漸屈線可用下述參數方程式來表示：
【瀏覽原件】
以上所提的各項結果，都可根據〈擺線及其他（下）〉一文中的討論結果推論可得。
著名的瑞士幾何學家Jacob Steiner（1796∼1863年）在1856年的一篇文章中，討論三角形的所有Simson線所包絡出來的曲線是什麼，因而發現此包絡線（envelope）就是三尖內擺線（見圖二）。由於這個緣故，三尖內擺線通常稱為Steiner內擺線。
所謂三角形的Simson線，其意義是什麼呢？過三角形ABC的外接圓上任意點P，向包含△ABC之邊的三直線作垂直線，則三垂直線的垂足必共線，此直線就稱為點P對△ABC的Simson線。
在圖三中，點P至直線BC、CA與AB的垂足分別為D、E與F。因為∠AEP+∠AFP=180°，所以，A、E、P與F四點共圓。於是，∠AEF=∠APF。又因為∠CDP=∠CEP，所以，C、D、E與P四點共圓。於是，∠CED=∠CPD。另一方面，因為A、B、C與P共圓，所以，∠PAF=∠PCD。於是，可得
∠AEF=∠APF=90°-∠PAF=90°-∠PCD=∠CPD=∠CED
因為A、E與C共線，所以，可知D、E與F共線。
在十九世紀中，大多數數學家都為前段所提的三垂足D、E與F共線，乃是英人Robert Simson（1687∼1768年）所發現的性質，所以，也以他的姓氏來稱呼直線。但是，經過了仔細的探究之後，J.S.Mackay在1890年的一篇文章中指出：在Simson的所有作品中都沒有發現這個定理，而且也沒有任何證據顯示Simson知道這個定理。Mackay表示：這項命名的錯誤，是因為法國名幾何學家F.J. Servois（1767∼1847年）的疏忽造成的。根據Mackay的說法，前面的定理乃是英人William Wallace（1768∼1843年），在1797年最先發現的。因此，有些幾何學家不再使用Simson線的名稱，而改稱為Wallace線。不過，本文仍稱為Simson線。
當我們需要繪出一個三角形許多條Simson線時，要先繪出許多垂直線，再連接垂足，圖形會顯得很雜亂。下面所介紹的性質，可以幫我們避開這困境。
在圖四中，點O是△ABC的垂心，過A的高與外接圓交於另一點A1，直線PA1與直線BC交於K，則點P對△ABC的Simson，線就是過OP的中點P1而與OK平行的直線。為什麼呢？
因為A、B、A1與C四點共圓，所以，∠BAA1=∠BCA1。因為∠BAA1與∠BCO都是∠B的餘角，所以，∠BAA1=∠BCO。於是，∠BCA1=∠BCO。由此可知直線BC是OA1的垂直平分線，故∠A1OK=∠OA1K。因為A、A1、C與P四點共圓，所以，∠OA1K=∠ACP。因為C、D、E與P四點共圓，所以，∠ACP=∠EDP。因為DP與【瀏覽原件】平行，所以，∠EDP=A1GE。綜合以上各等式，可知∠A1OK=∠A1GE。於是，因為同位角相等，可知直線OK與Simson線DEF平行。
其次，設直線OK與直線PD、PF分別交於A2、C2。因為直線BC垂直平分OA1，所以，直線BC也垂直平分PA2，於是，點D是PA2的中點。在△PA2C2中，直線DEF過PA2邊的中點且與底邊【瀏覽原件】平行，所以，F是PC2的中點，直線DEF與OP的交點P1是OP的中點。換言之，Simson線DEF通過OP的中點P1。
若在圖四的圓上再另取任意點P'，設直線P'A1與直線BC交於K'，則因為P'對△ABC的Simson線與OK'平行，所以，∠KOK'乃是點P與點P'對△ABC之Simson線的一個夾角。因為直線KK'垂直平分OA1，所以，∠KOK'=∠KA1K'=∠PA1P'＝弧PP'變數的一半。換言之，外接圓上任意二點對△ABC之Simson線的夾角，等於此二點所張之弧的度數的一半。因此，若PP'是外接圓的直徑，則P與P'對△ABC的Simson線必互相垂直。
習題：在圖一中，若直線PD、PE、PF與外接圓分別再交於A'、B'、C'，試證：直線AA'、BB'、CC'都與Simson線平行。
要解說Simson線的包絡線是三尖內擺線，我們需要引用「九點圓」（nine point circle）的概念來協助。
所謂九點圓，其意義是這樣的：在任意三角形中，三邊的中點、三高的垂足以及垂心至三頂點所連線段的中點等九個點落在一個圓上，此圓稱為該三角形的「九點圓」。
事實上，若以△ABC的垂心O為伸縮中心，將△ABC的外接圓縮成1/2倍，則所得的圖形是一個圓，這個圓就是由垂心O至外接圓上所有點P所連線段的中點構成的。因為頂點A、B與C在外接圓上，所以，垂心O至三頂點A、B、C所連線段的中點都在此圓上。另外，若直線OA與外接圓再交於A1，則依前小節的說明，直線BC是OA1的垂直平分線（見圖五）。因此，OA1的中點就是過A的高在BC上的垂足。由此可知：三高的垂足也落在此圓上。最後，若外接圓過A點的直徑是AA'，則∠ABA'是直角，亦即：直線A'B與直線AB垂直。但因直線OC也與直線AB垂直，所以，直線A'B與直線OC平行。同理，直線A'C也與直線OB平行。由此可知□OBA'C是一平行四邊形。於是，OA'的中點就是BC的中點。因此，三邊的中點也落在此圓上。
九點圓的圓心是那一點呢？因為九點圓是以垂心為伸縮中心，將外接圓縮小1/2倍（指線性縮小1/2，面積縮為1/4）而得，所以九點圓的圓心也可以垂心為伸縮中心，將外接圓圓心縮近1/2倍而得。換言之，九點圓的圓心就是垂心與外心所連線段的中點。附帶一提：垂心與外心所連線段也會通過該三角心的重心。換言之，垂心、重心與外心在同
一直線上，此直線稱為該三角形的「Euler線」。
習題：垂心O至頂點A所連線段的中點，與BC的中點構成九點圓之一直徑的兩端點。試證明之。
九點圓也被稱為Euler圓，或Feuerbach圓，前者是為紀念瑞士的Leonhard Euler（1707∼1783年），後者是為紀念德國的Karl Wilhelm Feuerbach（1800∼1834年）。九點圓並不是Euler所發現的，勤奮不懈的J.S.Mackay在1892年的一篇文章中指出，前一名稱乃是由疏忽所產生的錯誤。事實上，九點圓問題在1804年與1807年還以「徵答問題」的形式，出現在英國的一些期刊中。後來，法國名射影幾何學家Jean Victor Poncelet（1788∼1867年）在1821年的著作中，才明白寫出這個定理。1822年，Feuerbach在其著作中證明了九點圓定理，另外還證明了近代初等幾何中所稱的Feuerbach定理：三角形的九點與該三角形的內切圓、傍切圓都相切。在近代初等幾何有關三角形的探討中，Feuerbach定理
是幾何學家所公認最漂亮的定理之一。
九點圓與Simson線有什麼關係呢？設O是△ABC的垂心，依前面的說明，△ABC的九點圓乃是以O為中心將△ABC的外接圓縮小1/2倍而成。因此，對於外接圓上的每個點P, OP的中點P1必在九點圓上。另外，依前小節的說明，點P對△ABC的Simson線必通過OP的中點P1。因此，點P對△ABC的Simson線必與△ABC的九點圓相交於OP的中點（及另一點）。另一交點是那一點呢？設外接圓過P點的直徑是PP'，而OP'的中點為P1'。因為PP'是外接圓的直徑，所以，經過以O為伸縮中心縮小1/2倍後，所得的線段【瀏覽原件】乃是九點圓的直徑。此外，因為PP'是外接圓的直徑，所以，根據前小節最後一段的說明，可知P與P'對△ABC的Simson線必互相垂直。因為互相垂直的兩Simson線分別通過直徑【瀏覽原件】的兩端點，所以，兩Simson線的交點也在九點圓上，它也就是P對△ABC的Simson線與九點圓的另一個交點了。
兩Simson線的夾角也可以利用九點圓的弧來度量。設P與P'是△ABC的外接圓上任意二點，O為△ABC的垂心。若P1與P1'分別為OP與OP'的中點，則九點圓上的弧P1P1'的度數與外接圓上的弧PP'的度數相等。因此，P與P'對△ABC之Simson線的夾角，也等於P1與P1'在九點圓上所張之弧度的一半。
要探討Simson線的包絡線，我們需要討論Simson線的變化情形。要討論Simson線，變化情形，我們先選一條固定的Simson線做為基準，這條固定的Simson線我們要求它通過九點的圓心。
確實有通過九點圓圓心的Simson線嗎？答案是肯定的。我們說明如下：設△ABC的垂心是O，外心為Q，直線OA與外接圓的另一交點為A1。若點P在外接圓上且具有下列二性質：一、P與Q在直線OA的同側且P與A1在直線BC異側；二、∠QPA1=2∠OA1P，則P點對△ABC的Simson線必通過九點圓的圓心。為什麼呢？該PA1與直線BC交於K（見圖六），則依前面的說明，可知∠KOA1=∠KA1O。於是，∠OKP=2∠OA1P=∠QPA。由於內錯角相等，可知直線OK與直線PQ平行。因為P對△ABC的Simson線通過QP的中點且與OK（及PQ）平行，所以，此Simson線必通過OQ的中點。此中點就是九點圓的圓心，因為O是垂心而Q是外心。
在圖七中，水平直線就是前段所提的△ABC的固定Simson線，直線RP1是△ABC的任意Simson線，最小的圓是△ABC的九點圓，在圖六中未畫出△ABC。
設九點圓的圓心為M而半徑為a，以M為圓心作一個半徑為3a的圓，再以一個半徑為2a的圓在大圓內滾動，出發前兩圓相切於水平直線上N點，滾動圓上過N點的直徑為定直徑。根據本文第一小節中的說明，在滾動過程中，滾動圓的定直徑所包絡出來的曲線，就是大圓內的三尖內擺線。因此，要證明△ABC的所有Simson線的包絡線是此三尖內擺線，只需證明△ABC的任意Simson線，都是包含定直徑的直線，在滾動過程中某時刻的位置即可。
以P1為圓心作一個半徑為2a的圓，此圓當然是滾動圓在滾動過程中某時刻的位置，設此圓與大圓相切於I，我們只需證明滾動圓的定直徑在此時恰好在直線RP1上。因為直線LN與直線RP1都是Simson線，所以，它們的夾角等於九點圓上弧LP1的度數的一半。於是，可得∠LRP1=1/2∠LMP1，由此更得∠RP1I=3/2∠LMP1。因為固定大圓的半徑是滾動圓
的3/2倍，大圓上的圓心角∠LMP1等於滾動圓上圓心角∠RP1I的2/3倍，所以，大圓上的弧IN的長與滾動圓上的弧IR的長相等。由此可知：當滾動圓由切點為N滾動到切點為I時，定直徑由通過N滾動到通過R，也就是落在直線RP1上。
由此可知：一個三角形的所有Simson線的包絡線是一個三尖內擺線，三角形的九點圓在內部與此三尖內擺線相切，而此三尖內擺線的外接圓半徑，等於三角形的外接圓半徑的3/2倍。
對於三角形的所有Simson線所包絡出來的三尖內擺線，前面已對它的大小做了說明。下面我們討論此三尖內擺線的方向，它與1899年英人FrankMorley（1860∼1937年），發現的Morley角三等分線定理（Morley trisectortheorem），有密切關係。
所謂角三等分線定理，其意義是這樣的：三角形的三個內角的三等分角線中，與同一邊相鄰的每一對三等分角線的交點構成一個正三角形，此三角形稱為△ABC的Morley三角形，即圖八中的△XYZ。
在圖八中，∠B與∠C靠近BC邊的三等分角線相交於X，在∠B與∠C的另一條三等分角線上分別取一點Z與Y，使得∠XYC=∠XZB=60°+1/3∠A。設直線BZ與CY交於D，則X是△BCD的內心。因此，X至BD的垂直線段PX，與X至CD的垂直線段QX的長度相等。由此可知：△PXZ與△QXY全等。於是，XY=XZ。其次，因為∠BDC=180º-2/3∠B-2/3∠C，所以∠YXZ=360º-∠BDC-2(120º-1/3∠A)=60º。由此可知△XYZ是正三角形。我們只需證明AY與AX是∠A的三等分角線即可。
在AB與AC上分別選取一點S與R，使得BX=BS且CX=CR，則△BSZ=△BXZ，△CRY=△CXY。於是，RY=XY=XZ=SZ=YZ,
∠RYZ=∠SZY=360°-2(60º+1/3∠A)-60º=180º-2/3∠A。於是，在通過S、Z與Y的圓上，弧SZY的度數為4/3∠A。因SZ=ZY，所以在此圓上，弧YZ的變數為2/3∠A。於是∠YSZ=1/3∠A。同理，在通過R、Y與Z的圓上，弧YZ的變數也是2/3∠A。於是，∠YRZ=1/3∠A。由此可知：R、S、Y與Z四點共圓。在這個圓上，弧RY、YZ與ZS的變數都是2/3∠A，所以，弧內RYZS的變數為2∠A。由此可知：A點也在此圓上，即：A、R、Y、Z與S五點共圓，而且∠RAY、∠YAZ與∠ZAS都是1/3∠A。亦即：
與
是∠A的三等分線。
另外根據前面的說明，可知∠CXY=60º+1/3∠B，∠BXZ=60º+1/3∠C。於是，直線XY與直線BC的一個夾角是60º+1/3(∠B-∠C)，直線XZ與直線BC的一個夾角是120º+1/3(∠B-∠C)，直線YZ與直線BC的一個夾角是∣1/3(∠B-∠C)∣。
Morley的角三等分線定理，乃是近代初等幾何中最膾炙人口、也最出人意表的定理之一。這麼一個不算隱晦的定理，竟然避開了十八、九世紀許多名幾何學家的法眼，可能是由於尺規不能將角三等分，因而使數學家們對涉及角三等分的問題都不願深談的緣故吧！Morley在1900年的一篇論文中提到這個定理，但卻不曾附上證明。在此後的數十年間，這個定理一直吸引著許多人的興趣，提出來的證明方法恐怕有幾十種之多，而且也由內角的三等分線推廣到外角的情形。
最後，讓我們來討論三角形的Morley三角形，與其Simson線所包絡的三尖內擺線的關係。討論的重點在於該三尖內擺線的方向；說得更清楚些，就是連接它的三個尖點所得三直線的方向。我們知道：連接二尖點所得的直線，必定垂直於連接第三尖點與內切（九點）圓圓心的（Simson）線，所以，我們考慮此種Simson線。
設△ABC的垂心是O，外心是Q，直線AO與外接圓的另一交點為A1，點P在外接圓上，P與Q在直線OA的同側，且P與A1在直線BC的異側，直線A1P與直線BC交於K，∠QPA1=2∠OA1P（見圖六）。依前面的說明，可知P對△ABC的Simson線通過九點圓的圓心且與直線OK平行。設A與B在直線PQ同側，則在含A與B的半圓上分成四段弧，考慮這些弧所對的圓周角，即得：∠OPA1+∠A1AB+∠BCA+OA1P=90º，或是3∠OA1P+(90º-∠B)+∠C=90º，∠OA1P=1/3(∠B-∠C)。由此可得：∠OKB=90º-1/3(∠B-∠C)。換言之，P對△ABC的Simson線與直線BC的兩個夾角是90º±1/3(∠B-∠C)。因為圖八中的直線YZ與直線BC的一個夾角為∣1/3(∠B-∠C)∣，所以P點對△ABC的Simson線與直線YZ垂直。由此可知：在△ABC的所有Simson線所包絡的三尖內擺線中，有二尖點的連線與直線YZ平行。同理，另兩對尖點的連線則分別與直線XY、XZ平行。亦即，連接三尖點所成的正三角形的三邊，與Morley三角形的三邊一對對平行（見圖二）。
趙文敏任教於師大數學系；本刊編輯委員
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