科學古典名著之五牛頓的「自然哲學之數學原理」


1986年10月202期｜上一篇｜下一篇＃發行日期：1986、10 ＃期號：0202 ＃專欄：科學／人文／科學史＃標題：科學古典名著之五牛頓的「自然哲學之數學原理」＃作者：袁尚賢．年輕時代．升成教授．光粒子運動．醞釀出書．自然哲學之數學原理．走下坡的牛頓．圖一：牛頓手繪稜鏡分光實驗。A鏡把白光分成七彩，經BC中小洞X，只有單色光通過，再經DE中小洞Y，則第二稜鏡F不會再把純色光分開，同時可得此色光之折射率。．圖二：牛頓三大運動定律。．圖三：假設改成現象之處。		科學古典名著之五──牛頓的「自然哲學之數學原理」牛頓是我們心目中天才科學怪人的典型：脾氣古怪，行為特異，常常為了一個問題而廢寢忘食。自從1936年他的私人手稿公諸於世之後，研究牛頓的著作已近汗牛充棟的程度，只有關於達爾文及愛因斯坦的文獻產量差可比擬。年輕時代牛頓是1642年耶誕日生的早產遺腹子，體重太輕，家人都怕他活不久。他家在英國Lincolnshire鄉下的Woolsthorpe，父親有點地產。母親在他三歲時，再嫁了一位六十三歲的有錢人Smith，繼父不肯收牛頓，他由外祖父母帶大，十一歲時繼父過世才跟母親同住。後來離家去上中學，在校性情孤獨；他手藝靈巧，善於製作器具模型，校長教的數學在當時算是很深，他成績很好。十七歲時母親要他務農，牛頓書呆，試了一年不成，只好送回學校去。後來因為校長及舅舅的支持，母親才讓他在1661年去劍橋大學，其母有能力供應學費，卻令他以半佣半讀（Subsizar）身分入學，要伺候高年級及富家子弟。那時劍橋不比哈維當年進步，內容還是宗教神學，牛頓對數理有興趣，一切都得自修。1664年，他開始讀笛卡兒、華立斯（Wallis）等之數學、物理書籍，先學會解析幾何及無窮的概念，只翻了一下歐氏幾何。又對光學及視覺有興趣，拿自己眼睛作實驗，差點弄瞎了。他的心得都詳細記下來，幾十年下來積成三百多萬字，即是今天「牛頓學」的資料。1663年，劍橋剛設Lucasian數學教授一職，由拜羅（I.Barrow）擔綱。牛頓在校內沒什麼朋友，拜羅可算是他唯一的朋友。是年，大概是由拜羅及另一位鄉友幫助，牛頓得了獎學金，於是可以全心關注數理。他的室友記得他常常忘了吃飯，養肥了一隻貓，也常忘了睡覺，要寫字都會忘了拉把椅子，這樣不眠不休直到問題解決為止。他由華立斯書出發，一年之內發明用運動觀念解題，（1+x）^p的無窮級數展開法、流數（fluxion）積分術、求切線法，一下子超過了歐洲數學家的成就，但是他一字不提。 1665年，牛頓輕易通過古典的學士考試，留校進修。不久因為瘟疫蔓延，劍橋停課兩年，他就回鄉去住。在這兩年中，牛頓奇蹟式的發揮天才。五十年後他回憶說：「1665年初，我發現了近似級數法，以及化解任何形式之二項式變成這種級數的方法。同年五月，我發現格雷哥里（Gregory）及史路瑟斯（Slusius）的求切線法，十一月有了直接微分法（流數）。次年一月得了色彩原理，五月有了反微分法之開端。同年，我想把重力延伸到月球，我發現如何估計球體在球面上運轉的作用力。由刻卜勒行星距軌道中心之距離與週期成二分之三方關係，我導出要維持行星的軌道，它與運動中心的引力必和距離平方成反比。於是比較使月球保持軌道之力，與地面上重力的大小，兩者數字很相近。這些都發生在1665及1666的瘟疫年，那些日子是我發明力最強的時候，對數學與哲學思慮之深，超過其後任何時期。」他把刻卜勒的 r³=kT²代入惠更斯的離心力公式： f=mv²／r ∵v=2πr／T ∴f=m(2πr／T)²／r =4π²mr／（r³／k） =4kπ²m／r² 所以作用力 f與 r²成反比。他外甥女婿康杜伊特（J.Conduitt）寫的牛頓傳有「重力使蘋果從樹上落地」這麼一句，傳說之後，就變成蘋果打在牛頓頭上，使他「頓悟」的故事了。其實他那時只有粗淺的開始，一切還得以後好幾年的努力，才能奠定這些概念的數學基礎，而且這一切只有他自己知道，沒有公布半點。 1667年，牛頓又通過全額獎學金（fellowship）考試，並得了碩士。1668年莫卡托（Mercator）發表了一本Logarithmotechnia，拜羅拿給他看。牛頓就寫了一篇無窮級數解析法（De analysi per equationes numero terminorum infinitas），比莫卡托高明，拜羅轉寄給皇家學會的柯林斯（Collins）。起先牛頓不肯露名，柯林斯（Collins）很興奮地稱讚它，牛頓才讓拜羅透露作者名字。文中討論無窮級數求積，表演流數微分法，無窮小之概念及求切線法等，柯林斯轉告英國數學界，牛頓之名才傳出劍橋，可是他還是不肯公開發表。升成教授 1669年，拜羅另有高就，把Lucasian講座教授位置讓給年輕無名的牛頓。他不講分內的數學，卻開課討論光學。他把寢室弄暗，做了許多實驗，了解稜鏡分光原理及白光的組成；他還用一個大弧度透鏡放在平面玻璃上，研究所成之「射圈」現象（惠更斯同時也正在作此實驗）。當然這一切他照常一字不提。拜羅也叫牛頓為Kinckhusen的代數寫注解，注文比原文還精彩。柯林斯要他發表，牛頓卻默然不理。不久柯林斯終於說動他去寫一篇De methodis，講他的流數微分法，寫了大半就擱下了。結果還是他的手藝促使他揚名。他為了避免透鏡式望遠鏡之色散，製成了兩架反射式望遠鏡，放大率一百倍以上。消息傳開來，1671年皇家學會請他到倫敦展示，轟動全歐，立即選為會員。當年的學會組織正在歐洲興起，科學家有了集思廣益的意見交換所，實在是科學發展上重要之一環。 1672年，牛頓寫成一篇白光為不純色及光是粒子的文章，登在皇家學報，內容也是革命性的發現。可是物理前輩虎克（R.Hooke，發現彈性定律者）起而責難，說他早就做過這些實驗，不承認牛頓之結論，認為白光由七彩組成之看法，只是個「假設」。虎克什麼東西都要表示意見，而且大言不慚，毫不遲疑地筆之於文，與牛頓的躊躇行為完全相反。牛頓遲遲作答，而內容相當侮慢，他想不通為什麼有人不信他的結果及「想當然爾」的結論（見圖一）。荷蘭的惠更斯也不相信，認為不合「光波動」的理論。牛頓回他的信也很不客氣，惠更斯後來信服白光是不純色的實驗，只是對光粒子說懷疑。牛頓等到1704年虎克死後，才寫成它的光學書Opticks，就是要減少麻煩及囉嗦。牛頓認為這些爭論煩死了，想要退出學會，躲在劍橋，可是別人不放過他。柯林斯在1675年寫了一篇英國數學界的報導，寄給萊布尼玆，提到牛頓「無窮級數解析法」中的無窮級數，沒有明講牛頓的流數（）。我們由萊氏遺稿得知他當時已經發明了他的微分法（），跟牛頓一樣是獨立完成的。可是後來為了爭孰先孰後，牛頓就憑柯林斯之信件，一口咬定萊布尼玆是偷他的（參閱科學月刊75－4月號益智益囊集「世紀的審判」一文）。1676年，牛頓經學會秘書歐登堡（Oldenburg）之手，間接與萊氏通信，討論正弦化為級數的問題，用了流數法而沒加解釋，只說「另有妙法」而已。萊氏回信不甘後人，也表現他對無窮級數之功夫，而且不明講究竟。萊布尼玆又到倫敦，見了柯林斯，柯林斯為其才氣所拜倒，讓他看「無窮級數解析法」一文，萊氏筆記中只注意到級數，沒提起文後的流數法。這事柯林斯沒敢告訴牛頓，萊氏後來也從來不提他看過此文。萊氏回德國後，牛頓由倫敦轉來一信，講二項式展開法，含糊的流數法，緊要處只寫暗號：「6 a c e dæ 13 eff 7i 319 n 4θ4 q r r 4 s 8 t 12 u x」。萊氏回信讚揚連篇，也只把他的微積分法精要略略一提。不久歐登堡過世，兩方不通信了。那時候萊氏還沒發表他的微積分，如果牛頓明白講清楚的話，當然是他先發明，可減少以後的爭吵。光粒子運動 1675年，牛頓發表了他對光的看法，說光粒子用「以太」作介質而運動，「以太」也可以解釋靜電，甚至於延伸到行星運行上。又說虎克之擾射分光是葛里馬迪（Grimaldi）發現的，而且牛頓可用折射原理來解釋。虎克不服，說牛頓的東西他書上早有，只是略加一點而已。牛頓不由得火大，反說虎克一切抄自笛卡兒。牛頓的薄膜光圈完全不合虎克理論，而且虎克不會算薄膜之厚度，雙方吵個沒完。 1669起，牛頓忙著原始化學的鍊丹術，研讀波以耳等人之著作。牛頓擁有一批借來的丹術手稿，作者都是些無名氏，他也是暗底下在研究丹術，開始鍊汞、鍊銻，卻不鍊金。他用料定量，操作精細，想要由化學中找到物質變化之理。丹術理論強調無所不在之「精」（spirit），萬物由陰陽之精交配而成，跟他的機械化物理觀念大不相同。當年英國規定教授要成為牧師（ordain），這使他轉移注意力，研讀宗教神學，考據三位一體說（Trinity），研究第四世紀Athanasius與Arius（認為耶穌非神聖）之爭。於是發現新約書中有關三位一體的句子是偽造的，眼看1675年牧師任命期限已近，他不願入教會，打算另找工作。可能又經學院院長拜羅之助，請到英王特令，永免Lucasian講座之牧師身分。那時他專心於宗教與丹術，與外界不來往，只為開課寫了些數學講義，重新對希臘幾何有興趣，用極限概念來解題。他重讀笛卡兒，認為「物與物作用一定要接觸」的想法不正確。 1679年，虎克繼任皇家學會秘書，寫信給牛頓，討論他的世界系統：「基於三個命題：第一，所有天體都具有傾向體心的引力（或重力），由是它們不但吸住本身的各部位，使它們不能飛離（此由地球上可見），而且在它作用範圍內吸引其他天體。其二，進行直接、簡單運動中的任何物體，會繼續向前直走，一直到有其他作用力折彎其運動，構成一圓形或橢圓或其他複雜曲線。其三，這些引力，當物體越接近中心，作用越強。」這個題目牛頓很感興趣，回信中討論：在塔上之落體，起點之切線速度比地下大。他畫了一圖，表示落體會沿著一個螺線掉到地心去。虎克捉住了牛頓的大錯，回說物體在無阻力下會以橢圓運動，而常繞著引力中心運轉。牛頓回信認錯，並進一步計算了在均勻引力下之物體的運動情形。虎克馬上回說：「可是我的引力是與中心距離平方成反比的，所以速度與引力之平方根成正比，因此如刻卜勒所說與距離成反比。」這兩句「定律」都是錯的，牛頓就懶得再理他。但是他好奇心起，再把問題倒過來，由已知橢圓軌跡，用刻卡勒面積定律，求得運動物體之引力與距離平方成反比，這比他1665年用r³=kT²代入離心力的計算要難得多了。可是他又分了心，好久沒再想物理，只寫了些上課講義，再動手寫一篇數學文章，半路又擱下了。醞釀出書 1684年一月，哈雷、阮恩（C.Wren）及虎克在討論天體運動，虎克誇說他能以反平方關係算出所有天體運動定律，哈雷說他試過而算不出來。阮恩不信，以一本書為獎，看兩個月後有誰能答，虎克說他的答案要等別人失敗後才講，而兩個月後他也沒得獎。八月，哈雷因他事訪牛頓。哈雷問他，如果行星與太陽之引力與距離平方成反比，它所呈現之軌跡是什麼曲線。牛頓馬上說是個橢圓，哈雷又驚又喜地問他怎麼知道，他說我已經算過，於是哈雷即刻要看他的演算，牛頓在紙堆中找卻找不到，答應要重新算過再寄來。我們有手稿為證，牛頓是裝著找不到，他想要再檢查一下，果然算法不對，再重新演算。十一月，哈雷收到一分長達九頁之革命性文章：「物體在軌道中之運動」（De motu corporum in gyrum）指出由橢圓導出引力與其焦點距離平方成反比；由反平方引力導出軌跡必是錐體曲線，橢圓只是其中之一；由運動定律導出刻卜勒第二及第三定律；並求出在有阻力之介質中拋物體之軌跡。牛頓越思考這個問題，越放不下，內容也越詳細。於是廢寢忘食，神魂顛倒地花了十八個月工夫，完成「自然哲學之數學原理」（Philosophiae Naturalis Principia Mathematica）。 1686年牛頓之第一卷稿子寄給皇家學會，皇家學會指定哈雷經管出版事宜，當時學會會費欠的人太多，本身沒什麼經費，哈雷要自掏腰包來付印。不久哈雷寫信給牛頓說：「虎克認為重力與距離平方成反比是你從他那兒得來，要求在序文中明言。」牛頓第一封回信中說可以，過了三星期，又來一封語氣大變火氣十足的信，根本不承認虎克有半點關係，甚且威脅不出版算了，大概是虎克到處去吹牛，他聽了火大之故。幸虧哈雷打圓場，加上牛頓找到1673年給惠更斯的信裡，已經講到反平方關係，虎克承認他那時還沒想到，牛頓體諒哈雷花費也不少，這才消氣。只是初稿序中的Clarissimus Hookius先改成Hooke，最後還是不提，僅在講彗星的地方提一下虎克。出書之後，專門有兩本每頁訂有一張白紙的書給牛頓修改。1713年再版時內容大有改變，1726年三版，成為科學書作者本人修改得最勤快的，以後只有達爾文一而再的修改他的「物種原始」。自然哲學之數學原理卷一包含有八個定義及三大定律。定義了物質與運動之定量、慣性、作用力及向心力。注解中認為要有絕對之空間及時間，才有絕對的運動。三定律即是一、動者恆動，靜者恆靜；二、運動之變化與外加作用力成比例（F＝ma）；三、作用力必有反作用力。然後有六個推論，處理物體之運動，討論線段、角度及切線，讀起來像是數學書。他用古式幾何方法，其實可能是用解析法或微分求出來，改裝成幾何形式而已，很不好懂。次為十四節，討論由向心引力而形成之各種軌道性質、單擺、球體及非球體之引力，最後是「極小物體受向心力激起之運動」。還有幾個命題，例如：命題xi，如果物體以橢圓運轉，「對著橢圓焦點之向心力與距離平方成反比」。運轉軌跡是雙曲線或拋物線時亦然。命題xv導出刻卜勒第三定律。命題lxv：引力與中心距離平方成反比，則軌跡為橢圓，且證明刻卜勒第二定律，即物體與焦點之連線於同時間內掃過之面積相同。命題lvxi，解三個互相作用之物體運動情形之近似解。卷二「有阻力介質內物體之運動」，分九節，講液體中物體之運動、液體之密度與壓縮、液體之流動、液體之圓周運動。注解中說：「行星不是由物質渦流所帶動，」反駁笛卡兒之學說。第八節用理論導出聲速：首版時牛頓測出聲速為968 ft／sec，1705年德哈姆（Derham）測得1,142 ft／sec，牛頓在二版時加入許多勉強的假設來湊出這個數字（大家做實驗時，好像都有這種經驗），其實這是他原先沒考慮到聲波壓縮時的熱量關係而已，可見湊答案是多麼容易的事。卷三「世界系統」，利用卷一之數學，可以解釋天體現象，包括彗星、海潮、木星土星之衛星及地、月、日之運動，是唯一普通人可讀的部分。首先有六個「現象」，證明木星及土星的衛星軌道，合於刻卜勒之第三定律；各行星亦是如此。接著有三十三個命題：「任何物體都有重力，與其所含某些度量成比例」；「行星在天上之運行可維持非常之久」；「海水之潮汐是由於太陽與月亮之作用」；「月球之運行」；「由已知三點位置求出彗星軌道」。結尾總註釋裡，他提到上帝與重力之關係，他的名句「我不虛構假設」（Hypotheses non fingo）即出現在這裡。初版的卷三這裡都叫作「假設」，二版才改成「現象」（見圖三）。這種不相接觸之物體居然也有相互吸引力，大家最不能接受。萊布尼玆即以為：「太神奇、太抽象。」牛頓拒絕考慮重力究竟是怎麼來的，只說：「重力的確存在，而且依照我們所解說的定律而作用」，只要能解決天體現象就夠了。等於把這個懸案留給後人。牛頓「原理」中的程式可以分成三個階段：第一階，先想像出一些定義及架構，以純數學的手段由起首條件（initial conditions）求出它的結果；第二階，比較這些架構及結果，與實際自然現象中之規律，於是從而改變起首條件，形成一個新的第一階，再延伸出第二階。起首之數學架構都是簡化、理想性的自然景況，純是數學及模式。幾次兩階手續之後所形成之系統，便包含了大自然所有的複雜性質。比如地球繞日，太陽之大，地球對太陽之引力可以忽略，所以地球之運行，可以看作卷一命題一及二中：一個質點在固定之重力中心的吸引下而運動。然而月球、地球之作用就得考慮它們各繞兩點之間的一點「重心」（center of gravity）而運行，甚至加上其他行星所引起之干擾，即是改變了計算內容。這些基本架構求出之結果，符合實際現象，所以相信架構為真，可用以預測已知或未知之現象。於是最後一階段他宣布「重力的確存在」：由計算得知，重力延伸至極大的距離，因距離之平方而變小，在一個均勻之圓球面之內為零。對一均勻球體或同心球面之物體外的引力，等於所有質量全集中在球心一點一樣。引力與質量有關而非面積，於是與液體中運動或壓力之現象不同。至於重力的來源為何？牛頓卻想不出道理來。「原理」初版只有四百冊，1979年售價高到14,000英磅。再版有750冊，三版有1,250冊，現有八種文字的譯本，包括日文，但無中譯本。牛頓影響力之深遠，最明顯的就是他以後兩百年來的物理，完全用他的方法來處理。他的真正「傳人」卻是歐洲大陸的科學界，用萊布尼玆的微積分記號，把「原理」轉變成解析形式，應用上更為方便。英國太堅持用牛頓的反而退步。1781年新發現一個行星：天王星，但是它的軌跡不太合計算值，有人開始認為牛頓公式大概有問題。然後李佛瑞（Leverrier）及亞當斯（Adams）等以為是還有一顆行星，軌道在天王星之外，受這個新行星重力影響，天王星的運動產生偏差，於是推算新行星的可能位置，果然在預測的位置上找到海王星。但是水星的軌道每一百年產生43秒角度的差距，卻是牛頓公式無法解決的，要等到愛因斯坦的相對論才有答案。由於每百年差43秒是微乎其微的數值，今天對於天體現象及衛星發射的計算，只要牛頓公式就足夠；而且日常生活中的工程計算也完全是牛頓物理的天下。從1700年起，歷史學家及科學家都感覺到科學界已經產生了一大改變，於是原意是「運轉不息，週而復始」的revolution這個字，變成了「根本的改革──革命」。走下坡的牛頓牛頓在這時候畫了第一張肖像，充分呈現了牛頓的「雄姿英發」，他以後畫像累累，一張比一張肥胖。他於1689年選入國會議員，參與政事，交了不少達官貴人。1692年他精神失常，寫信亂罵人，過了一年才好轉。史家或以為水銀中毒，最近驗過他的頭髮，其中含汞量特高。1695年，經朋友的幫助，牛頓弄到國家鑄幣廠經理一職，遷往倫敦，忙著鑄新幣，捉拿製偽幣者，工作忙碌認真，於1699年升成廠長之後才清閒些。他繼父生的半妹之女芭頓（C.Barton）搬來他那裡作管家婦，年輕漂亮，富有才氣，轟動社交界，花邊新聞滿天飛。她於1715年嫁給牛頓助手康杜伊特，後來繼牛頓任廠長，並為牛頓作傳。牛頓那時只管神學、歷史及丹術，他的天才沒有延伸到化學上，當然也沒有半點發表。1705年當皇家學會會長，行為專橫，有一代科學王之風。他訂正「原理」時，需要皇家天文師佛萊姆斯提德（Flamsteed）的觀測資料，牛頓當他是個下級助理，強迫他發表未完成之資料，再版的「原理」中用了不少數據，居然沒提佛萊姆斯提德半個字。後來跟萊布尼玆吵微積分的事，說來話長。牛頓手下之年輕人，吹捧牛頓之偉大，小看了萊氏的貢獻。萊氏提議由第三者作仲裁，皇家學會就組成一個調查團，公然判定牛頓為先。今天由牛頓手稿可知，裁決文章是牛頓寫的！「原理」第三版中，連萊氏的名字也刪掉了。牛頓於1727年逝世，埋在西敏寺。遺產約三萬英磅，被鄉下親人分了去，只有康杜伊特收下他的手稿，然後在他家族中留了一百多年，沒什麼人見過。1872年才把其中認為是屬於數理的小部分捐給劍橋。1936年牛頓家族好像是為了辦離婚而要錢用，把這批「廢紙」拍賣，只得九千英磅，可惜牛頓手稿於是散失世界各地。幸好經濟學家凱恩斯（J.M.Keynes）買到近一半的稿子，送回劍橋。從這裡我們才知道，牛頓花在神學、歷史、丹術上的工夫，有過於他在數理上用的精力。參考資料 1. R.S. Westfall, Never at Rest：a Biography of Issac Newton, Cambridge Univ. Press（paper beck）, 1983.是作者二十年工夫之結晶，凡908頁有餘。 2. E. Segré, "From Falling Bodies to Radio Waves", Freeman, San Francisco , 1984. 3. I.B. Cohen, "The Newtonian Revolution ", Cambridge Univ. Press, 1983. 袁尚賢任職於美國Tracer Technologies Inc.
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1986年10月202期｜上一篇｜下一篇＃發行日期：1986、10 ＃期號：0202 ＃專欄：科學／人文／科學史＃標題：科學古典名著之五牛頓的「自然哲學之數學原理」＃作者：袁尚賢．年輕時代．升成教授．光粒子運動．醞釀出書．自然哲學之數學原理．走下坡的牛頓．圖一：牛頓手繪稜鏡分光實驗。A鏡把白光分成七彩，經BC中小洞X，只有單色光通過，再經DE中小洞Y，則第二稜鏡F不會再把純色光分開，同時可得此色光之折射率。．圖二：牛頓三大運動定律。．圖三：假設改成現象之處。		科學古典名著之五──牛頓的「自然哲學之數學原理」牛頓是我們心目中天才科學怪人的典型：脾氣古怪，行為特異，常常為了一個問題而廢寢忘食。自從1936年他的私人手稿公諸於世之後，研究牛頓的著作已近汗牛充棟的程度，只有關於達爾文及愛因斯坦的文獻產量差可比擬。年輕時代牛頓是1642年耶誕日生的早產遺腹子，體重太輕，家人都怕他活不久。他家在英國Lincolnshire鄉下的Woolsthorpe，父親有點地產。母親在他三歲時，再嫁了一位六十三歲的有錢人Smith，繼父不肯收牛頓，他由外祖父母帶大，十一歲時繼父過世才跟母親同住。後來離家去上中學，在校性情孤獨；他手藝靈巧，善於製作器具模型，校長教的數學在當時算是很深，他成績很好。十七歲時母親要他務農，牛頓書呆，試了一年不成，只好送回學校去。後來因為校長及舅舅的支持，母親才讓他在1661年去劍橋大學，其母有能力供應學費，卻令他以半佣半讀（Subsizar）身分入學，要伺候高年級及富家子弟。那時劍橋不比哈維當年進步，內容還是宗教神學，牛頓對數理有興趣，一切都得自修。1664年，他開始讀笛卡兒、華立斯（Wallis）等之數學、物理書籍，先學會解析幾何及無窮的概念，只翻了一下歐氏幾何。又對光學及視覺有興趣，拿自己眼睛作實驗，差點弄瞎了。他的心得都詳細記下來，幾十年下來積成三百多萬字，即是今天「牛頓學」的資料。1663年，劍橋剛設Lucasian數學教授一職，由拜羅（I.Barrow）擔綱。牛頓在校內沒什麼朋友，拜羅可算是他唯一的朋友。是年，大概是由拜羅及另一位鄉友幫助，牛頓得了獎學金，於是可以全心關注數理。他的室友記得他常常忘了吃飯，養肥了一隻貓，也常忘了睡覺，要寫字都會忘了拉把椅子，這樣不眠不休直到問題解決為止。他由華立斯書出發，一年之內發明用運動觀念解題，（1+x）^p的無窮級數展開法、流數（fluxion）積分術、求切線法，一下子超過了歐洲數學家的成就，但是他一字不提。 1665年，牛頓輕易通過古典的學士考試，留校進修。不久因為瘟疫蔓延，劍橋停課兩年，他就回鄉去住。在這兩年中，牛頓奇蹟式的發揮天才。五十年後他回憶說：「1665年初，我發現了近似級數法，以及化解任何形式之二項式變成這種級數的方法。同年五月，我發現格雷哥里（Gregory）及史路瑟斯（Slusius）的求切線法，十一月有了直接微分法（流數）。次年一月得了色彩原理，五月有了反微分法之開端。同年，我想把重力延伸到月球，我發現如何估計球體在球面上運轉的作用力。由刻卜勒行星距軌道中心之距離與週期成二分之三方關係，我導出要維持行星的軌道，它與運動中心的引力必和距離平方成反比。於是比較使月球保持軌道之力，與地面上重力的大小，兩者數字很相近。這些都發生在1665及1666的瘟疫年，那些日子是我發明力最強的時候，對數學與哲學思慮之深，超過其後任何時期。」他把刻卜勒的 r³=kT²代入惠更斯的離心力公式： f=mv²／r ∵v=2πr／T ∴f=m(2πr／T)²／r =4π²mr／（r³／k） =4kπ²m／r² 所以作用力 f與 r²成反比。他外甥女婿康杜伊特（J.Conduitt）寫的牛頓傳有「重力使蘋果從樹上落地」這麼一句，傳說之後，就變成蘋果打在牛頓頭上，使他「頓悟」的故事了。其實他那時只有粗淺的開始，一切還得以後好幾年的努力，才能奠定這些概念的數學基礎，而且這一切只有他自己知道，沒有公布半點。 1667年，牛頓又通過全額獎學金（fellowship）考試，並得了碩士。1668年莫卡托（Mercator）發表了一本Logarithmotechnia，拜羅拿給他看。牛頓就寫了一篇無窮級數解析法（De analysi per equationes numero terminorum infinitas），比莫卡托高明，拜羅轉寄給皇家學會的柯林斯（Collins）。起先牛頓不肯露名，柯林斯（Collins）很興奮地稱讚它，牛頓才讓拜羅透露作者名字。文中討論無窮級數求積，表演流數微分法，無窮小之概念及求切線法等，柯林斯轉告英國數學界，牛頓之名才傳出劍橋，可是他還是不肯公開發表。升成教授 1669年，拜羅另有高就，把Lucasian講座教授位置讓給年輕無名的牛頓。他不講分內的數學，卻開課討論光學。他把寢室弄暗，做了許多實驗，了解稜鏡分光原理及白光的組成；他還用一個大弧度透鏡放在平面玻璃上，研究所成之「射圈」現象（惠更斯同時也正在作此實驗）。當然這一切他照常一字不提。拜羅也叫牛頓為Kinckhusen的代數寫注解，注文比原文還精彩。柯林斯要他發表，牛頓卻默然不理。不久柯林斯終於說動他去寫一篇De methodis，講他的流數微分法，寫了大半就擱下了。結果還是他的手藝促使他揚名。他為了避免透鏡式望遠鏡之色散，製成了兩架反射式望遠鏡，放大率一百倍以上。消息傳開來，1671年皇家學會請他到倫敦展示，轟動全歐，立即選為會員。當年的學會組織正在歐洲興起，科學家有了集思廣益的意見交換所，實在是科學發展上重要之一環。 1672年，牛頓寫成一篇白光為不純色及光是粒子的文章，登在皇家學報，內容也是革命性的發現。可是物理前輩虎克（R.Hooke，發現彈性定律者）起而責難，說他早就做過這些實驗，不承認牛頓之結論，認為白光由七彩組成之看法，只是個「假設」。虎克什麼東西都要表示意見，而且大言不慚，毫不遲疑地筆之於文，與牛頓的躊躇行為完全相反。牛頓遲遲作答，而內容相當侮慢，他想不通為什麼有人不信他的結果及「想當然爾」的結論（見圖一）。荷蘭的惠更斯也不相信，認為不合「光波動」的理論。牛頓回他的信也很不客氣，惠更斯後來信服白光是不純色的實驗，只是對光粒子說懷疑。牛頓等到1704年虎克死後，才寫成它的光學書Opticks，就是要減少麻煩及囉嗦。牛頓認為這些爭論煩死了，想要退出學會，躲在劍橋，可是別人不放過他。柯林斯在1675年寫了一篇英國數學界的報導，寄給萊布尼玆，提到牛頓「無窮級數解析法」中的無窮級數，沒有明講牛頓的流數（）。我們由萊氏遺稿得知他當時已經發明了他的微分法（），跟牛頓一樣是獨立完成的。可是後來為了爭孰先孰後，牛頓就憑柯林斯之信件，一口咬定萊布尼玆是偷他的（參閱科學月刊75－4月號益智益囊集「世紀的審判」一文）。1676年，牛頓經學會秘書歐登堡（Oldenburg）之手，間接與萊氏通信，討論正弦化為級數的問題，用了流數法而沒加解釋，只說「另有妙法」而已。萊氏回信不甘後人，也表現他對無窮級數之功夫，而且不明講究竟。萊布尼玆又到倫敦，見了柯林斯，柯林斯為其才氣所拜倒，讓他看「無窮級數解析法」一文，萊氏筆記中只注意到級數，沒提起文後的流數法。這事柯林斯沒敢告訴牛頓，萊氏後來也從來不提他看過此文。萊氏回德國後，牛頓由倫敦轉來一信，講二項式展開法，含糊的流數法，緊要處只寫暗號：「6 a c e dæ 13 eff 7i 319 n 4θ4 q r r 4 s 8 t 12 u x」。萊氏回信讚揚連篇，也只把他的微積分法精要略略一提。不久歐登堡過世，兩方不通信了。那時候萊氏還沒發表他的微積分，如果牛頓明白講清楚的話，當然是他先發明，可減少以後的爭吵。光粒子運動 1675年，牛頓發表了他對光的看法，說光粒子用「以太」作介質而運動，「以太」也可以解釋靜電，甚至於延伸到行星運行上。又說虎克之擾射分光是葛里馬迪（Grimaldi）發現的，而且牛頓可用折射原理來解釋。虎克不服，說牛頓的東西他書上早有，只是略加一點而已。牛頓不由得火大，反說虎克一切抄自笛卡兒。牛頓的薄膜光圈完全不合虎克理論，而且虎克不會算薄膜之厚度，雙方吵個沒完。 1669起，牛頓忙著原始化學的鍊丹術，研讀波以耳等人之著作。牛頓擁有一批借來的丹術手稿，作者都是些無名氏，他也是暗底下在研究丹術，開始鍊汞、鍊銻，卻不鍊金。他用料定量，操作精細，想要由化學中找到物質變化之理。丹術理論強調無所不在之「精」（spirit），萬物由陰陽之精交配而成，跟他的機械化物理觀念大不相同。當年英國規定教授要成為牧師（ordain），這使他轉移注意力，研讀宗教神學，考據三位一體說（Trinity），研究第四世紀Athanasius與Arius（認為耶穌非神聖）之爭。於是發現新約書中有關三位一體的句子是偽造的，眼看1675年牧師任命期限已近，他不願入教會，打算另找工作。可能又經學院院長拜羅之助，請到英王特令，永免Lucasian講座之牧師身分。那時他專心於宗教與丹術，與外界不來往，只為開課寫了些數學講義，重新對希臘幾何有興趣，用極限概念來解題。他重讀笛卡兒，認為「物與物作用一定要接觸」的想法不正確。 1679年，虎克繼任皇家學會秘書，寫信給牛頓，討論他的世界系統：「基於三個命題：第一，所有天體都具有傾向體心的引力（或重力），由是它們不但吸住本身的各部位，使它們不能飛離（此由地球上可見），而且在它作用範圍內吸引其他天體。其二，進行直接、簡單運動中的任何物體，會繼續向前直走，一直到有其他作用力折彎其運動，構成一圓形或橢圓或其他複雜曲線。其三，這些引力，當物體越接近中心，作用越強。」這個題目牛頓很感興趣，回信中討論：在塔上之落體，起點之切線速度比地下大。他畫了一圖，表示落體會沿著一個螺線掉到地心去。虎克捉住了牛頓的大錯，回說物體在無阻力下會以橢圓運動，而常繞著引力中心運轉。牛頓回信認錯，並進一步計算了在均勻引力下之物體的運動情形。虎克馬上回說：「可是我的引力是與中心距離平方成反比的，所以速度與引力之平方根成正比，因此如刻卜勒所說與距離成反比。」這兩句「定律」都是錯的，牛頓就懶得再理他。但是他好奇心起，再把問題倒過來，由已知橢圓軌跡，用刻卡勒面積定律，求得運動物體之引力與距離平方成反比，這比他1665年用r³=kT²代入離心力的計算要難得多了。可是他又分了心，好久沒再想物理，只寫了些上課講義，再動手寫一篇數學文章，半路又擱下了。醞釀出書 1684年一月，哈雷、阮恩（C.Wren）及虎克在討論天體運動，虎克誇說他能以反平方關係算出所有天體運動定律，哈雷說他試過而算不出來。阮恩不信，以一本書為獎，看兩個月後有誰能答，虎克說他的答案要等別人失敗後才講，而兩個月後他也沒得獎。八月，哈雷因他事訪牛頓。哈雷問他，如果行星與太陽之引力與距離平方成反比，它所呈現之軌跡是什麼曲線。牛頓馬上說是個橢圓，哈雷又驚又喜地問他怎麼知道，他說我已經算過，於是哈雷即刻要看他的演算，牛頓在紙堆中找卻找不到，答應要重新算過再寄來。我們有手稿為證，牛頓是裝著找不到，他想要再檢查一下，果然算法不對，再重新演算。十一月，哈雷收到一分長達九頁之革命性文章：「物體在軌道中之運動」（De motu corporum in gyrum）指出由橢圓導出引力與其焦點距離平方成反比；由反平方引力導出軌跡必是錐體曲線，橢圓只是其中之一；由運動定律導出刻卜勒第二及第三定律；並求出在有阻力之介質中拋物體之軌跡。牛頓越思考這個問題，越放不下，內容也越詳細。於是廢寢忘食，神魂顛倒地花了十八個月工夫，完成「自然哲學之數學原理」（Philosophiae Naturalis Principia Mathematica）。 1686年牛頓之第一卷稿子寄給皇家學會，皇家學會指定哈雷經管出版事宜，當時學會會費欠的人太多，本身沒什麼經費，哈雷要自掏腰包來付印。不久哈雷寫信給牛頓說：「虎克認為重力與距離平方成反比是你從他那兒得來，要求在序文中明言。」牛頓第一封回信中說可以，過了三星期，又來一封語氣大變火氣十足的信，根本不承認虎克有半點關係，甚且威脅不出版算了，大概是虎克到處去吹牛，他聽了火大之故。幸虧哈雷打圓場，加上牛頓找到1673年給惠更斯的信裡，已經講到反平方關係，虎克承認他那時還沒想到，牛頓體諒哈雷花費也不少，這才消氣。只是初稿序中的Clarissimus Hookius先改成Hooke，最後還是不提，僅在講彗星的地方提一下虎克。出書之後，專門有兩本每頁訂有一張白紙的書給牛頓修改。1713年再版時內容大有改變，1726年三版，成為科學書作者本人修改得最勤快的，以後只有達爾文一而再的修改他的「物種原始」。自然哲學之數學原理卷一包含有八個定義及三大定律。定義了物質與運動之定量、慣性、作用力及向心力。注解中認為要有絕對之空間及時間，才有絕對的運動。三定律即是一、動者恆動，靜者恆靜；二、運動之變化與外加作用力成比例（F＝ma）；三、作用力必有反作用力。然後有六個推論，處理物體之運動，討論線段、角度及切線，讀起來像是數學書。他用古式幾何方法，其實可能是用解析法或微分求出來，改裝成幾何形式而已，很不好懂。次為十四節，討論由向心引力而形成之各種軌道性質、單擺、球體及非球體之引力，最後是「極小物體受向心力激起之運動」。還有幾個命題，例如：命題xi，如果物體以橢圓運轉，「對著橢圓焦點之向心力與距離平方成反比」。運轉軌跡是雙曲線或拋物線時亦然。命題xv導出刻卜勒第三定律。命題lxv：引力與中心距離平方成反比，則軌跡為橢圓，且證明刻卜勒第二定律，即物體與焦點之連線於同時間內掃過之面積相同。命題lvxi，解三個互相作用之物體運動情形之近似解。卷二「有阻力介質內物體之運動」，分九節，講液體中物體之運動、液體之密度與壓縮、液體之流動、液體之圓周運動。注解中說：「行星不是由物質渦流所帶動，」反駁笛卡兒之學說。第八節用理論導出聲速：首版時牛頓測出聲速為968 ft／sec，1705年德哈姆（Derham）測得1,142 ft／sec，牛頓在二版時加入許多勉強的假設來湊出這個數字（大家做實驗時，好像都有這種經驗），其實這是他原先沒考慮到聲波壓縮時的熱量關係而已，可見湊答案是多麼容易的事。卷三「世界系統」，利用卷一之數學，可以解釋天體現象，包括彗星、海潮、木星土星之衛星及地、月、日之運動，是唯一普通人可讀的部分。首先有六個「現象」，證明木星及土星的衛星軌道，合於刻卜勒之第三定律；各行星亦是如此。接著有三十三個命題：「任何物體都有重力，與其所含某些度量成比例」；「行星在天上之運行可維持非常之久」；「海水之潮汐是由於太陽與月亮之作用」；「月球之運行」；「由已知三點位置求出彗星軌道」。結尾總註釋裡，他提到上帝與重力之關係，他的名句「我不虛構假設」（Hypotheses non fingo）即出現在這裡。初版的卷三這裡都叫作「假設」，二版才改成「現象」（見圖三）。這種不相接觸之物體居然也有相互吸引力，大家最不能接受。萊布尼玆即以為：「太神奇、太抽象。」牛頓拒絕考慮重力究竟是怎麼來的，只說：「重力的確存在，而且依照我們所解說的定律而作用」，只要能解決天體現象就夠了。等於把這個懸案留給後人。牛頓「原理」中的程式可以分成三個階段：第一階，先想像出一些定義及架構，以純數學的手段由起首條件（initial conditions）求出它的結果；第二階，比較這些架構及結果，與實際自然現象中之規律，於是從而改變起首條件，形成一個新的第一階，再延伸出第二階。起首之數學架構都是簡化、理想性的自然景況，純是數學及模式。幾次兩階手續之後所形成之系統，便包含了大自然所有的複雜性質。比如地球繞日，太陽之大，地球對太陽之引力可以忽略，所以地球之運行，可以看作卷一命題一及二中：一個質點在固定之重力中心的吸引下而運動。然而月球、地球之作用就得考慮它們各繞兩點之間的一點「重心」（center of gravity）而運行，甚至加上其他行星所引起之干擾，即是改變了計算內容。這些基本架構求出之結果，符合實際現象，所以相信架構為真，可用以預測已知或未知之現象。於是最後一階段他宣布「重力的確存在」：由計算得知，重力延伸至極大的距離，因距離之平方而變小，在一個均勻之圓球面之內為零。對一均勻球體或同心球面之物體外的引力，等於所有質量全集中在球心一點一樣。引力與質量有關而非面積，於是與液體中運動或壓力之現象不同。至於重力的來源為何？牛頓卻想不出道理來。「原理」初版只有四百冊，1979年售價高到14,000英磅。再版有750冊，三版有1,250冊，現有八種文字的譯本，包括日文，但無中譯本。牛頓影響力之深遠，最明顯的就是他以後兩百年來的物理，完全用他的方法來處理。他的真正「傳人」卻是歐洲大陸的科學界，用萊布尼玆的微積分記號，把「原理」轉變成解析形式，應用上更為方便。英國太堅持用牛頓的反而退步。1781年新發現一個行星：天王星，但是它的軌跡不太合計算值，有人開始認為牛頓公式大概有問題。然後李佛瑞（Leverrier）及亞當斯（Adams）等以為是還有一顆行星，軌道在天王星之外，受這個新行星重力影響，天王星的運動產生偏差，於是推算新行星的可能位置，果然在預測的位置上找到海王星。但是水星的軌道每一百年產生43秒角度的差距，卻是牛頓公式無法解決的，要等到愛因斯坦的相對論才有答案。由於每百年差43秒是微乎其微的數值，今天對於天體現象及衛星發射的計算，只要牛頓公式就足夠；而且日常生活中的工程計算也完全是牛頓物理的天下。從1700年起，歷史學家及科學家都感覺到科學界已經產生了一大改變，於是原意是「運轉不息，週而復始」的revolution這個字，變成了「根本的改革──革命」。走下坡的牛頓牛頓在這時候畫了第一張肖像，充分呈現了牛頓的「雄姿英發」，他以後畫像累累，一張比一張肥胖。他於1689年選入國會議員，參與政事，交了不少達官貴人。1692年他精神失常，寫信亂罵人，過了一年才好轉。史家或以為水銀中毒，最近驗過他的頭髮，其中含汞量特高。1695年，經朋友的幫助，牛頓弄到國家鑄幣廠經理一職，遷往倫敦，忙著鑄新幣，捉拿製偽幣者，工作忙碌認真，於1699年升成廠長之後才清閒些。他繼父生的半妹之女芭頓（C.Barton）搬來他那裡作管家婦，年輕漂亮，富有才氣，轟動社交界，花邊新聞滿天飛。她於1715年嫁給牛頓助手康杜伊特，後來繼牛頓任廠長，並為牛頓作傳。牛頓那時只管神學、歷史及丹術，他的天才沒有延伸到化學上，當然也沒有半點發表。1705年當皇家學會會長，行為專橫，有一代科學王之風。他訂正「原理」時，需要皇家天文師佛萊姆斯提德（Flamsteed）的觀測資料，牛頓當他是個下級助理，強迫他發表未完成之資料，再版的「原理」中用了不少數據，居然沒提佛萊姆斯提德半個字。後來跟萊布尼玆吵微積分的事，說來話長。牛頓手下之年輕人，吹捧牛頓之偉大，小看了萊氏的貢獻。萊氏提議由第三者作仲裁，皇家學會就組成一個調查團，公然判定牛頓為先。今天由牛頓手稿可知，裁決文章是牛頓寫的！「原理」第三版中，連萊氏的名字也刪掉了。牛頓於1727年逝世，埋在西敏寺。遺產約三萬英磅，被鄉下親人分了去，只有康杜伊特收下他的手稿，然後在他家族中留了一百多年，沒什麼人見過。1872年才把其中認為是屬於數理的小部分捐給劍橋。1936年牛頓家族好像是為了辦離婚而要錢用，把這批「廢紙」拍賣，只得九千英磅，可惜牛頓手稿於是散失世界各地。幸好經濟學家凱恩斯（J.M.Keynes）買到近一半的稿子，送回劍橋。從這裡我們才知道，牛頓花在神學、歷史、丹術上的工夫，有過於他在數理上用的精力。參考資料 1. R.S. Westfall, Never at Rest：a Biography of Issac Newton, Cambridge Univ. Press（paper beck）, 1983.是作者二十年工夫之結晶，凡908頁有餘。 2. E. Segré, "From Falling Bodies to Radio Waves", Freeman, San Francisco , 1984. 3. I.B. Cohen, "The Newtonian Revolution ", Cambridge Univ. Press, 1983. 袁尚賢任職於美國Tracer Technologies Inc.
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