祖氏原理


1986年10月202期｜上一篇｜下一篇＃發行日期：1986、10 ＃期號：0202 ＃專欄：益智益囊集＃標題：祖氏原理＃作者：曹亮吉．圖一．圖二		祖氏原理當大家充分了解了微積分基本定理的內涵，知道從微分可以反求積分後，積分學進入了成熟時期。雖然如此，在此之前，面積與體積也求得不少，祖氏原理是其中最具威力的方法之一。祖沖之（429～500年）南北朝人，他的主要貢獻為新編大明曆，計算圓周率到小數第六位，以及計算球體的體積。在計算球體體積時，他曾經比較某兩個高度相同的立體，發現在距底面同高處，兩者的截面積相同，所以下結論認為兩立體的體積要相同：「緣冪勢既同，則積不容異。」〔勢：（同）高，冪：截面積。〕這就是祖氏原理（註一）。用現代積分符號來表示，祖氏原理說：f（x）＝g（x），則把它稍做延伸：如果f（x）：g（x）＝a：b，則　所以無論怎麼說，祖氏原理最是簡單不過，然而它的用途可真不小。我們以同底等高的柱與錐的體積比為例，說明祖氏原理的應用。考慮一正立方體的一頂點及不含此頂點的三個面，則任一面與此頂點可聯成一方錐。這種特殊的方錐稱為「陽馬」。這樣得到的三個完全相同的陽馬因能合組成一正立方體，所以正立方體與陽馬的體積比為3：1。其次考慮任一角錐，亦即底面為多邊形的錐。我們拿一個高度相同的陽馬與此角錐相比，則距底面同高處的截面面積之比，很容易算得是底面積之比，是個定比（不因高度而有所不同），所以角錐與陽馬的體積比就是它們的底面積之比。由於柱的體積就是底面積乘以高度，所以角錐與陽馬的體積比就是角柱與正立方體的體積比。由於正立方體是陽馬的三倍大，我們就推得角柱與角錐的體積比仍然為3：1。更一般的錐，其底面是由封閉曲線所圍成，而不是多邊形。然而封閉曲線可以看成為多邊形（當邊數增加時）的極限。所以透過極限的觀念，我們就得一般同底等高的柱與錐的體積比仍為3：1。如果前述的f（x）、g（x）代表兩平面區域的截線長，則祖氏原理就是說：截線長有定比的兩等高平面區域的面積比，等於該定比。具體的應用例子如：等高兩三角形的面積比，等於其底邊比；半徑為a的圓與半長短軸為a與b的橢圓，兩者的面積比為a：b等等。祖氏原理在西方稱為Cavalieri原理。Cavalieri（Bonaventura，1598～1647年）為伽利略的學生，是義大利Bologna大學的教授。在1635年他出版一本書Geometria indivisibilibus continuoum（不可分連續體的幾何學），把平面區域看成是由沒有寬度的平行線條所組成，體積則由沒有厚度的平行平面區域所組成。然後比較同高處的截線長或截面積，而得出以其為名的積分原理。 Cavalieri用其原理最成功的例子是，計算曲線y=x^k下的面積。為了熟悉Cavalieri的想法，我們先看k＝1的情形。如圖一，Cavalieri想證明三角形B C D（或 A B D）的面積為平行四邊形ABCD之半。在距兩底邊AD、BC等高處，引平行於底邊的直線，得截線E F G及K L M。由於ΔBCD及ΔABD分別由平行移動的線段FG、KL所組成，而FG=KL，所以ΔBCD與ΔABD的面積相等。又設AD=BC=c，FG=x，EF=y。因為c＝x＋y，所以。在這裡表示：隨著FG做平行移動，從頂點D變化到底線BC，所得截線長FG=x之和。從平面區域是由平行的截線所組成的這種觀點，正表示ΔBCD的面積。同理表示ΔABD的面積，表示平行四邊形的面積。既然ΔABD與ΔBCD等積，由可知，ΔBCD的面積為平行四邊形ABCD之半，即。以現代的符號來表示，相當于，而相當於。因為Cavalieri注意的是兩面積相比的比值，而、看成、後，其比值仍舊。用這樣的看法，上面的結果就變成這就是我們熟知的公式。再看k＝2的情形，由可得。為了求得，令，則。設P、Q為BC、AD的中點，而PQ交BD於O，則z就是圖二中的RF。假設有一立體以ΔOQD（及ΔOBP）為底，而在RF上的截面積為z²，則該立體的體積就是。這個立體在ΔOQD上的部分與所相應的立體是相似的：它們的高度比為1：2，截面積比為1：4。所以將Cavalieri原理加以推廣應用就得體積比為1：8，因此:＝1：4。由此可得，代回，如此逐步上推，Cavalieri就得到曲線y=x^k下的面積為這樣的結論。Cavalieri的推論過程雖然不免粗糙，但其想法可以經由現代嚴格的積分方法與性質而得以實現；這是的另一種求法（註二）。祖氏原理（或Cavalieri原理）雖然訴諸直觀，但若以現代積分的形式出現，則毫無意義不明之處。如此直觀嚴格兩種性質具備，所以在正式學習積分方法之前，用它來說明一些面積與體積的公式，在教學上是很方便的事。曹亮吉任教於台灣大學數學系，本刊編輯委員註一：參閱科學月刊72－7月號本欄。註二：參閱科學月刊75－9月號本欄。
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