全像光資訊處理


1989年9月237期｜上一篇｜下一篇＃發行日期：1989、9 ＃期號：0237 ＃專欄：＃標題：全像光資訊處理＃作者：廖建發．傅氏轉換及自關聯定理．透鏡的傅氏轉換特性．濾光器．同調光學處理器．數位－光學混合式處理器．應用實例．圖形識別．資訊儲存與再取．讀寫式全像記憶系統．圖一：透鏡的傅立葉轉換。．圖二：做兩次傅立葉轉換的透鏡。．圖三：三個透鏡式同調光學處理系統。．圖四：網狀物傅氏轉換及成像系統。．圖五：網狀物的頻譜及影像。．圖六：焦平面上安置僅有一道狹窄孔隙的濾光器，濾去水平軸上的頻譜，則可見(a)濾光後的頻譜與(b)處理後的影像。．圖七：濾去垂直軸上的頻譜，則可見(a)濾光後的頻譜(b)處理後的影像。．圖八：魯克特濾光器的製作系統。．圖九：二個透鏡式同調光學處理器。．圖十：一個透鏡式同調光學處理器。．圖十一：同調光學關聯器。．圖十二：同調光學處理器的輸出。．圖十三：數位－光學混合處理系統。．圖十四：原來的影像(a)，加了高通濾光器後則影像對比倒轉(b)。．圖十五：原來的影像(a)及加強對比後的影像(b)。．圖十六：圖型識別系統原理．圖十七：圖型識別系統圖。．圖十八：圖型大小改變時的輸出結果。．圖十九：圖型旋轉時的輸出結果。．圖二十：圖型有缺陷時的結果。．圖二十一：理想的圖型識別讀入系統。．圖二十二：非同調縮影系統。．圖二十三：全像紀錄系統(a)及全像再取系統(b)。．圖二十四：讀寫式全像記憶的基本系統。．圖二十五：32 ×32陣列的全像片(a)；每個全像片的影像(b)。		全像光資訊處理 1960年代雷射光的發明，使得同調（coherent）光源的獲得不再是一件困難的事。因而已往在非同調光學系統（incoh rent optical system）中，光資訊處理的局限性及遇到的一些難題，已能在同調光學處理系統中得到解決。當然同調光學處理系統仍然有些問題需要克服，但是它具有易操縱性（flexibility）、即時（real-time）處理、二維平行（two-dimension and parallel）處理的特性，使得同調光學處理在現代工程中，具有發展的價值及潛力。經過二十多年的努力，科學家們已經成功將之應用到各種不同的領域之中。本文主要目的在於介紹同調光資訊處理的應用，其中包含了基本知識的建立、濾光器（filter）及光學處理器（optical processor）的介紹及使用、影像處理在圖形辨認上的應用、資訊的儲存及再取等等。以下是一些基本觀念及物理現象的介紹，希望讀者能經由這些介紹，而對本文內容有更深入的了解。傅氏轉換及自關聯定理在工程上，經常為了便於資料的運算或處理，而將某一函數轉換到另一具有某種物理意義的函數。其中傅氏轉換便是經常被應用到的一種，如一維中訊號頻譜的分析、二維中光資訊的處理等等。在空間中某一個位置，光的分布函數g（x,y），我們可經由某種方式來對其實施傅氏轉換，而在另一個位置得到空間頻率f_x、f_y的函數G(f_x,f_y)。G(f_x,f_y)就稱為g（x,y）的傅氏轉換函數。我們以G=(f_x,f_y)＝F｛g(x,y)｝來表示。就此文而言，g（x,y）及G(f_x,f_y)都是代表光的強度，但是形式不同，而且兩者之間具有一定的關係存在。例如g（x,y）可能是一個人的影像，但G(f_x,f_y)卻可能是一大堆光點或條紋所組成的奇怪圖形。這一奇怪圖形再經一次傅氏轉換後，又可得到和原來人的影像相同，但是上下、左右顛倒的影像。在此，又必須介紹一個重要的「自關聯定理」（autocorrelation theorem）：定義函數g（x,y）的自關聯運算如下：【瀏覽原件】（g(x,y)為g(x,y)的共軛複數）假設G(f_x,f_y)=F{g(x,y)}, G(f_x,f_y)是G(f_x,f_y)的共軛複數，由傅氏轉換定理，則我們發現，G(f_x,f_y)．G(f_x,f_y)的傅氏轉換函數正比於g（x,y）的自關聯函數。觀察式(1)，我們可以發現在原點（x＝0, y＝0）自關聯函數會有最大值產生。如g（x,y）是光強度分布函數，那麼其自關聯函數在原點會有一個最亮點產生。當我們在探討圖形辨認時，便會利用到此重要性質（見參考資料1.）。透鏡的傅氏轉換特性由透鏡的特性及弗瑞奈（Fresnel）繞射定理，我們可以得知當一個光分布函數g(x₁,y₁)置於一個透鏡的前焦面（front focal plane）時，該透鏡會將這函數做傅氏轉換，而在其背焦面形成這一函數的空間頻譜。如圖一所示在P₁平面g(x₁,y₁)被透鏡L₁傅氏轉換在P₂形成G(f_x,f_y)，其中f_x=x₂/λf₁，f_y=y₂/λf₁，λ為光的波長。f_x,f_y通常稱為空間頻率（spatial frequency）。如果在P₂平面之後再加一個透鏡（見圖二），繼續對G(f_x,f_y)做傅氏轉換。圖二當f₁=f₂時，在P₃平面我們可以得到g（-x,-y）。因此傅氏轉換的數學運算，可以用類似圖一及圖二的光學系統來表明。濾光器在圖二中，由於加入L₂透鏡，使得在P₃平面產生原來的影像。在P₂平面產生影像g(x₁,y₁)的空間頻譜。如果想辦法改變在頻率平面P₂上的頻譜，這被修正過的頻譜經L₂轉換，而在P₃平面產生被改變的影像。因此適當地修正頻譜，就能獲得我們所需要的影像改變。濾光器就是用來修正這一頻譜的裝置，它通常是個透射光罩（transmission mask）。圖三是一個典型同調光學處理系統的示意圖，S代表同調點光源，L_o是照準透鏡，它將從S發出來的球面光波變成平行於光軸的平行光。P₁是輸入平面，通常是一個透明片或其他材料。L₁是傅氏轉換透鏡，P₂就是濾光器，是由所希望的濾光函數記錄在透明片或其他材料所組成。L₂也是一個傅氏轉換透鏡，P是輸出平面。假設在P₁平面上輸入影像函數為f（x,y），此函數經L₁行傅氏轉換，而在P₂得到F(f_x,f_y)。 F(f_x,f_y)=F{f(x,y)} （2）假設P₂平面上的濾光函數為H(f_x,f_y) H(f_x,f_y)=F{h(x,y)}（3）經過P₂平面後，光的分布函數成為F'(f_x,f_y) F'(f_x,f_y)=F(f_x,f_y)H(f_x,f_y) （4） F'(f_x,f_y)再經過L₂的傅氏轉換。在P₃輸出平面便得到經處理過的影像函數f'(x,y)。 f'(x,y)=f(x,y)_h(x,y)〔註〕（5） h（x,y）是這個系統的脈衝響應（impulse response），是一個系統的特性，它與濾光器及鏡片都有關。所以光學處理最直接的做法便是，由我們所希望得到的影像處理及式(5)來決定h（x,y），再由h（x,y）及式(3)來製作濾光器。這是最基本的概念，下文我們會談及其他作法及概念，尤其是全像濾光器。在此舉一個簡單濾光器的例子。圖四中，一個網狀的物體或透明片置於透鏡前方2倍焦距的位置，在透鏡後焦平面的位置形成此網狀物的頻譜，在透鏡後2倍焦距處形成影像。圖五(a)就是此網狀物頻譜的照片，(b)為在2f處所成影像的照片。如果我們在焦平面上放置一個上面僅有一道狹窄孔隙的濾光器，調整這濾光器，使得只有在水平軸上的頻譜可以通過〔見圖六(a)〕，那麼在影像平面所成的影像便只有垂直條紋〔見圖六(b)〕，網狀物的水平部分已被濾掉了。同樣，只允許垂直軸上的頻譜通過，所成的影像便是水平的條紋〔見圖七(a)及(b)〕。如此利用簡單的濾光器，來分離水平垂直交錯影像的水平及垂直部分，濾光器的功用即是在於可依我們所希望的方式來處理影像。魯克特濾光器通常一個簡單濾光函數的傅氏轉換，便相當複雜，所以要同時控制濾光器上的振幅及相位是相當困難的。美國密西根大學的魯克特（V.Lugt）教授，利用干涉的方法成功地解決這個難題，同時也使得定位上誤差的容忍度放寬不少。他是將濾光器利用類似全像的方法製造在全像片上，因此這種濾光器也稱為全像濾光器。圖八是一個典型的魯克特濾光器製作的示意圖。L₁透鏡將點光源S發出的光轉換成平行光，在P₁平面擺置了有我們希望的h(x₁,y₁)影像的透明片，L₂是傅氏轉換透鏡，它將P₁上的h(x₁,y₁)予以傅氏轉換，而在P₂平面上形成H(f_x,f_y)。稜鏡P將平行於光軸的光偏折為與光軸成θ度的平行光。這參考光和H(f_x,f_y)產生干涉，而記錄於底片上面。假設參考光在P₂平面上的分布函數為　U_r(x₂,y₂)= r_o exp(－j2π2y₂) （6）其中空間頻率α為　α=sinθ／ λ （7） λ為光的波長。底片經過沖洗之後，底片的振幅傳導函數為【瀏覽原件】注意式(8)，H及H同時記錄在全像片中。這一簡單的方法，取代了傳統將H(f_x,f_y)記載在濾光器的繁複方法，使光學處理更向前邁進了一大步（見參考資料3.）。同調光學處理器同調光學處理器必須具備有同調光源、輸入函數的透視單元（transi11umination element）、在濾光器放置的平面，必須產生光源的影像，在輸出平面要產生經過處理後的影像。滿足上列條件，而且最常用的系統有三個（見圖三）、二個（見圖九）及一個透鏡式同調光學處理器（見圖十）。三種處理器各有不同的適用性，必須依應用狀況需要來選擇最適合的處理器。例如當我們需要調整輸入、輸出的圖形大小時，二個透鏡式就比三個透鏡式的處理器來得方便（見參考資料2）。圖十一是三個透鏡式同調光學處理器，將製作好的魯克特濾光器放置在P₂平面上，濾光器上的函數如式(4)所示。當輸入函數為g（x,y）時，通過濾光器後，光的分布函數含有和H(f_x,f_y)．G(f_x,f_y)及H．G分別成某種比例的項。由式(3)及式(7)，H．G項再經L₂透鏡轉換，便可以在P₃平面得到h_g。如果h（x,y）＝g（x,y）時，在P₃平面我們可以得到h（x,y）及g（x,y）的自關聯函數（見圖十二）。而在P₃平面兩個函數分開的距離是由魯克特濾光器中的α值來決定。所以選定適當的α值，我們便可在適當的平面P'₃得到我們所期望的捲積或自關聯運算的結果。數位－光學混合式處理器光學與數位電子整合的資訊處理系統（見圖十三），具有精確度高、彈性、處理速度快、容量大等項優點，也是現在及將來發展的趨勢。它是將三個透鏡式的同調光學處理器和一個數位系統結合而成。處理器中的輸入平面及濾光器平面是能夠將非同調資訊轉換為同調資訊的變換器（transducer），數位處理機根據輸入裝置的輸入影像，來驅動雷射紀錄器（laserbeam recoder,LBR），而將輸入影像寫進輸入平面，它也將所需要的濾光函數透過LBR寫進濾光器平面。輸入影像經過處理後的影像由偵測器傳送到數位處理機。數位處理機根據這影像做適當處理後，便對它所控制的周邊裝置發出命令。上述的系統可利用在機器視覺的影像處理上。目前機器視覺所遭遇到的瓶頸便是，大量的二維影像處理必須要花費一段時間才能完成，因此無法做到即時處理及反應。如果使用上述系統，我們可以將大量需要繁複處理的資料，交由數位－光學處理器來完成，一些簡單資料的處理才交給微處理機，如此便可達到正確又即時的影像處理了。上述系統的實用性，主要關鍵在於非同調到同調的變換器，它需要一種即時又均勻的材料。應用實例對比倒轉(contrast inverse)：在顯微鏡系統中，經常需要使觀測的影像產生對比倒轉，光學處理的方法便是加高通濾光器（high-pass filter），將頻譜的DC成分濾掉，只允許高頻的成分通過（見圖十四）。影像對比加強：不是將影像頻譜的DC成分全部濾除，而是使用僅吸收部分DC成分的濾光器時，影像的對比會被加強（見圖十五）。不清楚的影像，也可以使用適當的濾光器來得到清晰的影像。圖形識別顧名思義，圖型識別（pattern recognition）就是在一個有各種不同雜訊存在的系統中，把我們所期望的圖型或字元辨別出來。如果能做到這點，我們可以把這一圖型識別子系統納入主系統中，如此把資料產生、資料輸入、資料處理、處理後資料的應用作一整合性的處理。現在自動化系統的發展正朝著這方向努力，而圖型識別系統的研究發展更是關鍵所在。圖型識別的原理相當簡單。同調光學圖型識別技術的主要基礎是，一個二維函數在系統中會與其他二維函數作校正運算（correlation operation）。十六圖中頻率平面放置了一個光罩，它的傳導函數是某個函數s（x,y）的傅氏轉換的共軛複數s(f_x,f_y)。通常稱之為「相配濾光器」（matched filter）。如果輸入平面為s（x,y）時，通過P₂平面之後的光分布為s(f_x,f_y)。s(f_x,f_y)，這一函數經過L₃透鏡予以傅氏轉換後，在輸出平面P₃便可得s（x,y）的自關聯函數，這個函數在原點會形成很亮的一個光點。如果輸入不是s（x,y），在輸出平面就不會產生很亮的點。所以我們可以從輸出平面是否有亮點產生，來判斷輸入的圖形是否和濾光器相配的圖形一樣。圖型識別系統可以數位－光學處理器的觀念來建立。要辨認的圖型放在輸入平面，在濾光器平面輸入各種不同的相配濾光器的圖型，在輸出平面的感測陣列或者掃描裝置，將感測到的光點的存在與否傳送到數位處理器，以便做其他的處理。識別的方式可以是序列式，也可以是平行式的。序列識別方式是將不同圖型的相配濾光器利用機械或其他的方式依序放入濾光器平面，通常這種方向比較費時而且不方便，只能用在某些對時間的要求比較寬鬆的場合中。平行識別方式是將各種不同圖型的相配濾光器集中放在一個濾光器內，根據在輸出平面光點產生的位置來判斷輸入的圖型。圖十七中，若s_1，s_2…s_n_依序放入，則這個系統便是序列式的識別；如果s_1，s_2…s_n_按某一方式放在一濾光器中，則這個系統便是平行式的識別。因為每一圖型能量不同，所以必須做正規化（normalization）的處理，才能減少在輸出平面上光點感測的錯誤。圖中在每一輸出前除以〔∫∫\|s\|dξ．dη〕^1/2就是正規化的處理。同調光學識別系統最大的好處就是，它可以容許輸入圖型或濾光器有少許的誤差，而不會對輸出有太大的影響。圖型有少許的改變，或者有少許方向的轉動也可容忍。圖十八(a)中，中間的「5」是標準字型，左邊放大15％，右邊縮小15％；(b)為在輸出平面所得影像，由結果得知字型大小改變15％仍然在許可範圍之內；(c)圖為加入高通濾光器之後所得的結果，光點更加清楚。圖十九(a)中，自左至右字體分別旋轉了0°、2°、4°、8°及16°；(b)圖為未加高通濾光器的結果；而(c)圖則是加了此一濾光器的結果，比較(b)、(c)圖可知，加了濾光器之後，輸出對旋轉比較敏感。圖二十(a)中表示字體有缺陷或者不清楚，(b)、(c)圖為其輸出的結果，可見此系統對圖型缺陷的包容能力相當優良。圖型識別系統的關鍵在於，圖型的讀入及輸出資料的讀出。圖二十一是一個理想的讀入系統，這系統可把紙上的資料或圖型直接讀入而後處理。但是紙上表面並非光滑平坦，因此讀入的圖型常伴隨著雜亂的相位變化，這是首先必須克服的問題，再者輸入平面的空間調到介質也是需要克服的問題。輸出感測器解析度要高，才能讀出輸出的光點，感測器必須能將讀出的資料送到電腦，以便作其他的處理或者由電腦發出控制其他周邊設備的指令。這些都是有待解決的問題，雖然如此，光學圖型識別系統和數位電子、電腦圖型識別系統的整合是今後發展的趨勢，尤其是在機器視覺方面的發展，更期待這種整合能做到即時處理（見參考資料3﹑4及5）。資訊儲存與再取對於電腦的硬體或者其他需要資料儲存（information storage）的系統而言，記憶系統通常是最昂貴的部分之一。因此，存取速度快、儲存密度高、容量大的記憶系統，一直是工程師努力的方向。全像記憶系統恰好可以滿足這些要求，它同時具有易於保存的優點，灰塵、刮傷、污點對於資料不會造成太大的影響。雖然它仍有一些問題有待克服，尤其是材料方面的問題，但是它極具有發展的潛力。含有細線條的圖，如地圖或者工程圖，若用傳統方法去縮影，紀錄材料的解析度必須非常高，通常到幾個微米左右；而且在記憶或者再取（retrieval）時，對焦必須非常準確才可以。但是利用全像的技術，這兩個問題都被解決了。圖二十二及二十三，表示利用全像術儲存及再取一張24"×36"地圖的方法。首先利用傳統方法將地圖縮影在一張35mm的底片上（見圖二十二）。縮影20倍對傳統方法而言是沒有問題的。然後將這個底片放置在如圖二十三(a)中的位置，底片上的影像被透鏡作傅氏轉換後，與參考光產生干涉而給記錄在全像片上。將這全像片放置在圖二十三(b)中的位置，在螢幕上便顯示出原來大小的地圖。如果縮小60倍，雷射光的波長為5145Å，傅氏透鏡的焦鏡為50mm，那麼我們僅僅需要半徑約為10mm的全像片，便可以達到傳統縮影60倍的效果。隨著數位系統的進步，記憶及儲存的技術漸漸往容量大、存取速度快、資料平行存取的方向發展，而全像記憶的技術，可以達到10⁸~10¹⁰位元的容量，1～10微秒的存取速度。在某些材料的問題解決之後，相信全像記憶術仍然有很大的發展空間。讀寫式全像記憶系統圖二十四中資料編寫器（data composer）係將電的數位訊號串，轉換為二維的空間訊號，這是編寫資料到記憶體的第一步，然後編寫器上的數位影像經過透鏡作傅氏轉換，我們利用聲光偏向儀（acoustooptic deflector），將這轉換影像和參考光導引到全像片某個儲存的位置，產生干涉而記錄在全像片上。當另外一組資料需要記憶時，再重複上面的動作，便可再將這組資料記憶到全像片上的另一個位置，如此我們便可以把大量的資料一批一批地記憶到記憶體上。　當我們要讀取記憶體上的資料時，只要將參考光導引到全像陣列中某一組資料儲存的位址，重建後的影像經透鏡作傅氏轉換，便可以在光二極體陣列的平面，得到原先這組資料在資料編寫器上的數位影像，所以存在記憶體某個位置的資料便可以讀出來。圖二十五中的(a)是直徑1.2mm，32 ×32陣列的全像片記憶體，每一個小點是一個全像片，它可以產生如(b)圖的實像，這個實像就是編寫器上的數位影像，其中光點的有無，就如同數位系統中的0與1，或者電位高與低一般。這樣的系統可以做到100 ×100陣列全像片的記憶體，每個全像片可以有10⁴位元的資料，總記憶可以達到10⁸位元之多（見參考資料4及6）。參考資料 1.R.N. Bracewell, "The Fourier Transform and Its Applications", McGraw-Hil1, 1986. 2.D. Casasent, "Optical Data Processing& Application", Chap. 3, Berlin, Springer, 1978.(Topics in Applied Physics; Volume 23) 3.J.W.Goodman,"Introduction to Fourier Optics", Chap.7, p.171. 4.W.T. Cathey, "Optical Information Processing and Holography", pp.199~207, 317~322, New York, Willey, 1974. 5.J.T. Tippett, "Optical and Electro-Optical Information Processing", pp.125~141 The M.I.T. Press, Cambridge, Mass., 1965. 6.E.N. Yu, W. kook, etc., "Optical Information Processing", pp. 347~368, The Plenum Press, New York and London, 1976. 廖建發就讀於台灣大學機械工程研究所註：f(x,y)_h(x,y)代表兩個函數f(x,y),h(x,y)的捲積運算（convolution）。
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1989年9月237期｜上一篇｜下一篇＃發行日期：1989、9 ＃期號：0237 ＃專欄：＃標題：全像光資訊處理＃作者：廖建發．傅氏轉換及自關聯定理．透鏡的傅氏轉換特性．濾光器．同調光學處理器．數位－光學混合式處理器．應用實例．圖形識別．資訊儲存與再取．讀寫式全像記憶系統．圖一：透鏡的傅立葉轉換。．圖二：做兩次傅立葉轉換的透鏡。．圖三：三個透鏡式同調光學處理系統。．圖四：網狀物傅氏轉換及成像系統。．圖五：網狀物的頻譜及影像。．圖六：焦平面上安置僅有一道狹窄孔隙的濾光器，濾去水平軸上的頻譜，則可見(a)濾光後的頻譜與(b)處理後的影像。．圖七：濾去垂直軸上的頻譜，則可見(a)濾光後的頻譜(b)處理後的影像。．圖八：魯克特濾光器的製作系統。．圖九：二個透鏡式同調光學處理器。．圖十：一個透鏡式同調光學處理器。．圖十一：同調光學關聯器。．圖十二：同調光學處理器的輸出。．圖十三：數位－光學混合處理系統。．圖十四：原來的影像(a)，加了高通濾光器後則影像對比倒轉(b)。．圖十五：原來的影像(a)及加強對比後的影像(b)。．圖十六：圖型識別系統原理．圖十七：圖型識別系統圖。．圖十八：圖型大小改變時的輸出結果。．圖十九：圖型旋轉時的輸出結果。．圖二十：圖型有缺陷時的結果。．圖二十一：理想的圖型識別讀入系統。．圖二十二：非同調縮影系統。．圖二十三：全像紀錄系統(a)及全像再取系統(b)。．圖二十四：讀寫式全像記憶的基本系統。．圖二十五：32 ×32陣列的全像片(a)；每個全像片的影像(b)。		全像光資訊處理 1960年代雷射光的發明，使得同調（coherent）光源的獲得不再是一件困難的事。因而已往在非同調光學系統（incoh rent optical system）中，光資訊處理的局限性及遇到的一些難題，已能在同調光學處理系統中得到解決。當然同調光學處理系統仍然有些問題需要克服，但是它具有易操縱性（flexibility）、即時（real-time）處理、二維平行（two-dimension and parallel）處理的特性，使得同調光學處理在現代工程中，具有發展的價值及潛力。經過二十多年的努力，科學家們已經成功將之應用到各種不同的領域之中。本文主要目的在於介紹同調光資訊處理的應用，其中包含了基本知識的建立、濾光器（filter）及光學處理器（optical processor）的介紹及使用、影像處理在圖形辨認上的應用、資訊的儲存及再取等等。以下是一些基本觀念及物理現象的介紹，希望讀者能經由這些介紹，而對本文內容有更深入的了解。傅氏轉換及自關聯定理在工程上，經常為了便於資料的運算或處理，而將某一函數轉換到另一具有某種物理意義的函數。其中傅氏轉換便是經常被應用到的一種，如一維中訊號頻譜的分析、二維中光資訊的處理等等。在空間中某一個位置，光的分布函數g（x,y），我們可經由某種方式來對其實施傅氏轉換，而在另一個位置得到空間頻率f_x、f_y的函數G(f_x,f_y)。G(f_x,f_y)就稱為g（x,y）的傅氏轉換函數。我們以G=(f_x,f_y)＝F｛g(x,y)｝來表示。就此文而言，g（x,y）及G(f_x,f_y)都是代表光的強度，但是形式不同，而且兩者之間具有一定的關係存在。例如g（x,y）可能是一個人的影像，但G(f_x,f_y)卻可能是一大堆光點或條紋所組成的奇怪圖形。這一奇怪圖形再經一次傅氏轉換後，又可得到和原來人的影像相同，但是上下、左右顛倒的影像。在此，又必須介紹一個重要的「自關聯定理」（autocorrelation theorem）：定義函數g（x,y）的自關聯運算如下：【瀏覽原件】（g(x,y)為g(x,y)的共軛複數）假設G(f_x,f_y)=F{g(x,y)}, G(f_x,f_y)是G(f_x,f_y)的共軛複數，由傅氏轉換定理，則我們發現，G(f_x,f_y)．G(f_x,f_y)的傅氏轉換函數正比於g（x,y）的自關聯函數。觀察式(1)，我們可以發現在原點（x＝0, y＝0）自關聯函數會有最大值產生。如g（x,y）是光強度分布函數，那麼其自關聯函數在原點會有一個最亮點產生。當我們在探討圖形辨認時，便會利用到此重要性質（見參考資料1.）。透鏡的傅氏轉換特性由透鏡的特性及弗瑞奈（Fresnel）繞射定理，我們可以得知當一個光分布函數g(x₁,y₁)置於一個透鏡的前焦面（front focal plane）時，該透鏡會將這函數做傅氏轉換，而在其背焦面形成這一函數的空間頻譜。如圖一所示在P₁平面g(x₁,y₁)被透鏡L₁傅氏轉換在P₂形成G(f_x,f_y)，其中f_x=x₂/λf₁，f_y=y₂/λf₁，λ為光的波長。f_x,f_y通常稱為空間頻率（spatial frequency）。如果在P₂平面之後再加一個透鏡（見圖二），繼續對G(f_x,f_y)做傅氏轉換。圖二當f₁=f₂時，在P₃平面我們可以得到g（-x,-y）。因此傅氏轉換的數學運算，可以用類似圖一及圖二的光學系統來表明。濾光器在圖二中，由於加入L₂透鏡，使得在P₃平面產生原來的影像。在P₂平面產生影像g(x₁,y₁)的空間頻譜。如果想辦法改變在頻率平面P₂上的頻譜，這被修正過的頻譜經L₂轉換，而在P₃平面產生被改變的影像。因此適當地修正頻譜，就能獲得我們所需要的影像改變。濾光器就是用來修正這一頻譜的裝置，它通常是個透射光罩（transmission mask）。圖三是一個典型同調光學處理系統的示意圖，S代表同調點光源，L_o是照準透鏡，它將從S發出來的球面光波變成平行於光軸的平行光。P₁是輸入平面，通常是一個透明片或其他材料。L₁是傅氏轉換透鏡，P₂就是濾光器，是由所希望的濾光函數記錄在透明片或其他材料所組成。L₂也是一個傅氏轉換透鏡，P是輸出平面。假設在P₁平面上輸入影像函數為f（x,y），此函數經L₁行傅氏轉換，而在P₂得到F(f_x,f_y)。 F(f_x,f_y)=F{f(x,y)} （2）假設P₂平面上的濾光函數為H(f_x,f_y) H(f_x,f_y)=F{h(x,y)}（3）經過P₂平面後，光的分布函數成為F'(f_x,f_y) F'(f_x,f_y)=F(f_x,f_y)H(f_x,f_y) （4） F'(f_x,f_y)再經過L₂的傅氏轉換。在P₃輸出平面便得到經處理過的影像函數f'(x,y)。 f'(x,y)=f(x,y)_h(x,y)〔註〕（5） h（x,y）是這個系統的脈衝響應（impulse response），是一個系統的特性，它與濾光器及鏡片都有關。所以光學處理最直接的做法便是，由我們所希望得到的影像處理及式(5)來決定h（x,y），再由h（x,y）及式(3)來製作濾光器。這是最基本的概念，下文我們會談及其他作法及概念，尤其是全像濾光器。在此舉一個簡單濾光器的例子。圖四中，一個網狀的物體或透明片置於透鏡前方2倍焦距的位置，在透鏡後焦平面的位置形成此網狀物的頻譜，在透鏡後2倍焦距處形成影像。圖五(a)就是此網狀物頻譜的照片，(b)為在2f處所成影像的照片。如果我們在焦平面上放置一個上面僅有一道狹窄孔隙的濾光器，調整這濾光器，使得只有在水平軸上的頻譜可以通過〔見圖六(a)〕，那麼在影像平面所成的影像便只有垂直條紋〔見圖六(b)〕，網狀物的水平部分已被濾掉了。同樣，只允許垂直軸上的頻譜通過，所成的影像便是水平的條紋〔見圖七(a)及(b)〕。如此利用簡單的濾光器，來分離水平垂直交錯影像的水平及垂直部分，濾光器的功用即是在於可依我們所希望的方式來處理影像。魯克特濾光器通常一個簡單濾光函數的傅氏轉換，便相當複雜，所以要同時控制濾光器上的振幅及相位是相當困難的。美國密西根大學的魯克特（V.Lugt）教授，利用干涉的方法成功地解決這個難題，同時也使得定位上誤差的容忍度放寬不少。他是將濾光器利用類似全像的方法製造在全像片上，因此這種濾光器也稱為全像濾光器。圖八是一個典型的魯克特濾光器製作的示意圖。L₁透鏡將點光源S發出的光轉換成平行光，在P₁平面擺置了有我們希望的h(x₁,y₁)影像的透明片，L₂是傅氏轉換透鏡，它將P₁上的h(x₁,y₁)予以傅氏轉換，而在P₂平面上形成H(f_x,f_y)。稜鏡P將平行於光軸的光偏折為與光軸成θ度的平行光。這參考光和H(f_x,f_y)產生干涉，而記錄於底片上面。假設參考光在P₂平面上的分布函數為　U_r(x₂,y₂)= r_o exp(－j2π2y₂) （6）其中空間頻率α為　α=sinθ／ λ （7） λ為光的波長。底片經過沖洗之後，底片的振幅傳導函數為【瀏覽原件】注意式(8)，H及H同時記錄在全像片中。這一簡單的方法，取代了傳統將H(f_x,f_y)記載在濾光器的繁複方法，使光學處理更向前邁進了一大步（見參考資料3.）。同調光學處理器同調光學處理器必須具備有同調光源、輸入函數的透視單元（transi11umination element）、在濾光器放置的平面，必須產生光源的影像，在輸出平面要產生經過處理後的影像。滿足上列條件，而且最常用的系統有三個（見圖三）、二個（見圖九）及一個透鏡式同調光學處理器（見圖十）。三種處理器各有不同的適用性，必須依應用狀況需要來選擇最適合的處理器。例如當我們需要調整輸入、輸出的圖形大小時，二個透鏡式就比三個透鏡式的處理器來得方便（見參考資料2）。圖十一是三個透鏡式同調光學處理器，將製作好的魯克特濾光器放置在P₂平面上，濾光器上的函數如式(4)所示。當輸入函數為g（x,y）時，通過濾光器後，光的分布函數含有和H(f_x,f_y)．G(f_x,f_y)及H．G分別成某種比例的項。由式(3)及式(7)，H．G項再經L₂透鏡轉換，便可以在P₃平面得到h_g。如果h（x,y）＝g（x,y）時，在P₃平面我們可以得到h（x,y）及g（x,y）的自關聯函數（見圖十二）。而在P₃平面兩個函數分開的距離是由魯克特濾光器中的α值來決定。所以選定適當的α值，我們便可在適當的平面P'₃得到我們所期望的捲積或自關聯運算的結果。數位－光學混合式處理器光學與數位電子整合的資訊處理系統（見圖十三），具有精確度高、彈性、處理速度快、容量大等項優點，也是現在及將來發展的趨勢。它是將三個透鏡式的同調光學處理器和一個數位系統結合而成。處理器中的輸入平面及濾光器平面是能夠將非同調資訊轉換為同調資訊的變換器（transducer），數位處理機根據輸入裝置的輸入影像，來驅動雷射紀錄器（laserbeam recoder,LBR），而將輸入影像寫進輸入平面，它也將所需要的濾光函數透過LBR寫進濾光器平面。輸入影像經過處理後的影像由偵測器傳送到數位處理機。數位處理機根據這影像做適當處理後，便對它所控制的周邊裝置發出命令。上述的系統可利用在機器視覺的影像處理上。目前機器視覺所遭遇到的瓶頸便是，大量的二維影像處理必須要花費一段時間才能完成，因此無法做到即時處理及反應。如果使用上述系統，我們可以將大量需要繁複處理的資料，交由數位－光學處理器來完成，一些簡單資料的處理才交給微處理機，如此便可達到正確又即時的影像處理了。上述系統的實用性，主要關鍵在於非同調到同調的變換器，它需要一種即時又均勻的材料。應用實例對比倒轉(contrast inverse)：在顯微鏡系統中，經常需要使觀測的影像產生對比倒轉，光學處理的方法便是加高通濾光器（high-pass filter），將頻譜的DC成分濾掉，只允許高頻的成分通過（見圖十四）。影像對比加強：不是將影像頻譜的DC成分全部濾除，而是使用僅吸收部分DC成分的濾光器時，影像的對比會被加強（見圖十五）。不清楚的影像，也可以使用適當的濾光器來得到清晰的影像。圖形識別顧名思義，圖型識別（pattern recognition）就是在一個有各種不同雜訊存在的系統中，把我們所期望的圖型或字元辨別出來。如果能做到這點，我們可以把這一圖型識別子系統納入主系統中，如此把資料產生、資料輸入、資料處理、處理後資料的應用作一整合性的處理。現在自動化系統的發展正朝著這方向努力，而圖型識別系統的研究發展更是關鍵所在。圖型識別的原理相當簡單。同調光學圖型識別技術的主要基礎是，一個二維函數在系統中會與其他二維函數作校正運算（correlation operation）。十六圖中頻率平面放置了一個光罩，它的傳導函數是某個函數s（x,y）的傅氏轉換的共軛複數s(f_x,f_y)。通常稱之為「相配濾光器」（matched filter）。如果輸入平面為s（x,y）時，通過P₂平面之後的光分布為s(f_x,f_y)。s(f_x,f_y)，這一函數經過L₃透鏡予以傅氏轉換後，在輸出平面P₃便可得s（x,y）的自關聯函數，這個函數在原點會形成很亮的一個光點。如果輸入不是s（x,y），在輸出平面就不會產生很亮的點。所以我們可以從輸出平面是否有亮點產生，來判斷輸入的圖形是否和濾光器相配的圖形一樣。圖型識別系統可以數位－光學處理器的觀念來建立。要辨認的圖型放在輸入平面，在濾光器平面輸入各種不同的相配濾光器的圖型，在輸出平面的感測陣列或者掃描裝置，將感測到的光點的存在與否傳送到數位處理器，以便做其他的處理。識別的方式可以是序列式，也可以是平行式的。序列識別方式是將不同圖型的相配濾光器利用機械或其他的方式依序放入濾光器平面，通常這種方向比較費時而且不方便，只能用在某些對時間的要求比較寬鬆的場合中。平行識別方式是將各種不同圖型的相配濾光器集中放在一個濾光器內，根據在輸出平面光點產生的位置來判斷輸入的圖型。圖十七中，若s_1，s_2…s_n_依序放入，則這個系統便是序列式的識別；如果s_1，s_2…s_n_按某一方式放在一濾光器中，則這個系統便是平行式的識別。因為每一圖型能量不同，所以必須做正規化（normalization）的處理，才能減少在輸出平面上光點感測的錯誤。圖中在每一輸出前除以〔∫∫\|s\|dξ．dη〕^1/2就是正規化的處理。同調光學識別系統最大的好處就是，它可以容許輸入圖型或濾光器有少許的誤差，而不會對輸出有太大的影響。圖型有少許的改變，或者有少許方向的轉動也可容忍。圖十八(a)中，中間的「5」是標準字型，左邊放大15％，右邊縮小15％；(b)為在輸出平面所得影像，由結果得知字型大小改變15％仍然在許可範圍之內；(c)圖為加入高通濾光器之後所得的結果，光點更加清楚。圖十九(a)中，自左至右字體分別旋轉了0°、2°、4°、8°及16°；(b)圖為未加高通濾光器的結果；而(c)圖則是加了此一濾光器的結果，比較(b)、(c)圖可知，加了濾光器之後，輸出對旋轉比較敏感。圖二十(a)中表示字體有缺陷或者不清楚，(b)、(c)圖為其輸出的結果，可見此系統對圖型缺陷的包容能力相當優良。圖型識別系統的關鍵在於，圖型的讀入及輸出資料的讀出。圖二十一是一個理想的讀入系統，這系統可把紙上的資料或圖型直接讀入而後處理。但是紙上表面並非光滑平坦，因此讀入的圖型常伴隨著雜亂的相位變化，這是首先必須克服的問題，再者輸入平面的空間調到介質也是需要克服的問題。輸出感測器解析度要高，才能讀出輸出的光點，感測器必須能將讀出的資料送到電腦，以便作其他的處理或者由電腦發出控制其他周邊設備的指令。這些都是有待解決的問題，雖然如此，光學圖型識別系統和數位電子、電腦圖型識別系統的整合是今後發展的趨勢，尤其是在機器視覺方面的發展，更期待這種整合能做到即時處理（見參考資料3﹑4及5）。資訊儲存與再取對於電腦的硬體或者其他需要資料儲存（information storage）的系統而言，記憶系統通常是最昂貴的部分之一。因此，存取速度快、儲存密度高、容量大的記憶系統，一直是工程師努力的方向。全像記憶系統恰好可以滿足這些要求，它同時具有易於保存的優點，灰塵、刮傷、污點對於資料不會造成太大的影響。雖然它仍有一些問題有待克服，尤其是材料方面的問題，但是它極具有發展的潛力。含有細線條的圖，如地圖或者工程圖，若用傳統方法去縮影，紀錄材料的解析度必須非常高，通常到幾個微米左右；而且在記憶或者再取（retrieval）時，對焦必須非常準確才可以。但是利用全像的技術，這兩個問題都被解決了。圖二十二及二十三，表示利用全像術儲存及再取一張24"×36"地圖的方法。首先利用傳統方法將地圖縮影在一張35mm的底片上（見圖二十二）。縮影20倍對傳統方法而言是沒有問題的。然後將這個底片放置在如圖二十三(a)中的位置，底片上的影像被透鏡作傅氏轉換後，與參考光產生干涉而給記錄在全像片上。將這全像片放置在圖二十三(b)中的位置，在螢幕上便顯示出原來大小的地圖。如果縮小60倍，雷射光的波長為5145Å，傅氏透鏡的焦鏡為50mm，那麼我們僅僅需要半徑約為10mm的全像片，便可以達到傳統縮影60倍的效果。隨著數位系統的進步，記憶及儲存的技術漸漸往容量大、存取速度快、資料平行存取的方向發展，而全像記憶的技術，可以達到10⁸~10¹⁰位元的容量，1～10微秒的存取速度。在某些材料的問題解決之後，相信全像記憶術仍然有很大的發展空間。讀寫式全像記憶系統圖二十四中資料編寫器（data composer）係將電的數位訊號串，轉換為二維的空間訊號，這是編寫資料到記憶體的第一步，然後編寫器上的數位影像經過透鏡作傅氏轉換，我們利用聲光偏向儀（acoustooptic deflector），將這轉換影像和參考光導引到全像片某個儲存的位置，產生干涉而記錄在全像片上。當另外一組資料需要記憶時，再重複上面的動作，便可再將這組資料記憶到全像片上的另一個位置，如此我們便可以把大量的資料一批一批地記憶到記憶體上。　當我們要讀取記憶體上的資料時，只要將參考光導引到全像陣列中某一組資料儲存的位址，重建後的影像經透鏡作傅氏轉換，便可以在光二極體陣列的平面，得到原先這組資料在資料編寫器上的數位影像，所以存在記憶體某個位置的資料便可以讀出來。圖二十五中的(a)是直徑1.2mm，32 ×32陣列的全像片記憶體，每一個小點是一個全像片，它可以產生如(b)圖的實像，這個實像就是編寫器上的數位影像，其中光點的有無，就如同數位系統中的0與1，或者電位高與低一般。這樣的系統可以做到100 ×100陣列全像片的記憶體，每個全像片可以有10⁴位元的資料，總記憶可以達到10⁸位元之多（見參考資料4及6）。參考資料 1.R.N. Bracewell, "The Fourier Transform and Its Applications", McGraw-Hil1, 1986. 2.D. Casasent, "Optical Data Processing& Application", Chap. 3, Berlin, Springer, 1978.(Topics in Applied Physics; Volume 23) 3.J.W.Goodman,"Introduction to Fourier Optics", Chap.7, p.171. 4.W.T. Cathey, "Optical Information Processing and Holography", pp.199~207, 317~322, New York, Willey, 1974. 5.J.T. Tippett, "Optical and Electro-Optical Information Processing", pp.125~141 The M.I.T. Press, Cambridge, Mass., 1965. 6.E.N. Yu, W. kook, etc., "Optical Information Processing", pp. 347~368, The Plenum Press, New York and London, 1976. 廖建發就讀於台灣大學機械工程研究所註：f(x,y)_h(x,y)代表兩個函數f(x,y),h(x,y)的捲積運算（convolution）。
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