重遊幾何

近二十年來，平面幾何在數學教育中的地位每下愈況，年輕的學子對平面幾何的了解，已經接近於文盲的程度。平面幾何的不幸遭遇大概可歸於課程安排者所持的三個理由：其一，平面幾何的知識不是現代數學的基石；其二，平面幾何的推論對一般學生而言難了些；其三，平面幾何沒有固定的解題方法，不是好數學。

這三個理由都有其道理，但平面幾何就因此而慘遭刪減，則還有檢討的餘地。誠然，平面幾何的知識不是現代數學的基石，但它提供了邏輯推演的絕佳題材，而成熟的邏輯推演能力正是學習現代數學的基石。再者，幾何坐標化的現代方法固然使幾何學量化，便於計算，但往往也因此把幾何直觀的培養從數學教育中剔除。平面幾何的再一優點就是它的美。數學美有抽象的，也有具體的，而平面幾何則兩者兼具，比代數學、坐標幾何學要強得多。

平面幾何對一般學生的確難了些，但對程度好一點的學生，它卻是個非常吸引人的題材。教材統一的結果只好牽就一般學生，使程度好一點的學生失去欣賞平面幾何，進而從中學得研讀數學方法的機會。統一教材與聯考使得大家趨於平庸，這是個典型的例子。

數學各部門的確是朝著規則化的方向演進，譬如有了坐標，許多幾何問題的解法大致上有一定的規則可循。然而，數學研究的目的正是想從一些看起來雜亂的計算推演中，尋找出一些規則來；如果問題的解法都有了固定可尋的規則，那麼這門學問也就熟透了而無法有所進展！平面幾何雖然有兩千多年的歷史，但平面幾何的問題並不一定有固定的解法，這正是它所以吸引人的地方。每個平面幾何的題目，對沒見過的人而言，都是一個小小的研究題材。補助線絕不是無中生有；題目經過分析，再做合理的嘗試，補助線往往就瓜熟蒂落，自然呈現。分析與嘗試正是研究數學的不二法門；有了平面幾何的訓練，對數學研究的景況就可以有初步的了解。從尖端研究的觀點來看，平面幾何當然不是顯學；從教育的觀點來看，平面幾何自有其重要的地位。

另外有個普遍的印象，認為自歐幾里得之後，平面幾何就沒什麼進展。其實，垂足三角形、兩圓根軸、圖形變換與反演及射影原理等歐幾里得之後才有的觀點，使許多本來看起來很難很繁的問題，能夠輕鬆愉快，三兩下子就解決了。一般人對平面幾何有了偏見，當然更不知道平面幾何還有這些進展。

出生於倫敦，長年執教於加拿大的數學家H.S.M. Coxeter（1907年∼）是位著名的幾何學家。他也感嘆平面幾何在中學數學教育中重要性的日益沒落。他與S.L. Greitzer合寫一本書「Geometry Revisited」（重遊幾何），其內容為歐幾里得之後的平面幾何學，其目的在力邀讀者再探幾何學，希望讀者迷上了幾何之美。

我們不想就新觀點來看平面幾何學，只想從書中挑出兩個大家一看就懂的題目，使大家也有重遊幾何的機會。

第一個題目是關於等腰三角形的。由於對稱的關係，等腰三角形的兩腰擁有相等的底角、相等的中線、垂線及分角線。反過來，我們要問底角相等就等腰嗎？中線呢？垂線呢？分角線呢？答案都是肯定的，但證明呢？底角相等就等腰，這是大家很熟知的。中線的情形很容易從重心定理推得，垂線的情形則由兩直角三角形全等推得。分角線的情形卻是個難題。

1840年，有人把這個問題就教於偉大的瑞士幾何學家Steiner（1796∼1867年），請他用純幾何的方法來解。若△ABC的三邊為a、b、c，則∠B分角線長的平方可算得為：ac〔1－b²/(a＋c)²〕。同理∠C的分角線長的平方為ab〔1－c²/(a＋b)²〕。將兩者相等，就可解出b＝c。這種解法屬於代數式的，不是純幾何式的。Steiner不負所託，但他們解法卻非常複雜。其後的二十幾年間，各種解法紛紛出籠。

兩分角線相等，如何證明兩邊相等呢？自然，大家會想到各種全等形定理。但縱使畫些補助線，這些全等定理似乎都用不上，原因是：相等的東西很難湊到兩個三角形上去。用反證法如何？也就是假設兩邊或兩角不等，而證明分角線不等。依幾何直觀自然要證：大角的分角線長小於小角的分角線長。

關於長度比大小，有什麼定理可用？一、三角形大角對大邊；二、三角形兩邊和大於第三邊；三、同一圓上的兩劣弧，弧長（或其所對的圓周角）較大者所對的弦較大；四、在比較的過程中，我們可以把較大者弄小些，或把較小者放大些──如果這樣做可以比出大小的話。

目前所知最簡單的證法就是三及四兩項合用。如圖一設∠C＞∠B，BD、CE為分角線。在∠DCE內作一角∠FCE＝∠ABD，交BD於F，則BCEF在同一圓上。因為為∠B＜∠BCF＝1/2(∠B＋∠C)＜90°，所以CE＜BF＜BD。

這種證法有個有趣的歷史：Coxeter在另一本書「Introduction to Geometry」中就提及這個定理，「科學美國人」雜誌的「數學遊戲」（Matheatical Games）專欄主持人M. Gardiner曾為文介紹該書，並提及這個著名的問題，於是有上百個讀者把他們找到的證明送給Gardiner。他花了很大工夫，去蕪存菁，從其中整理出這樣精彩的證法。

第二個題目也是分角線的問題，但這次是三分線。如圖二，三角形三個角的三等分線，兩兩交於P、Q、R三點，則△PQR為正三角形。這個定理首先由美國數學家F. Morley於十九、二十世紀交替之際提出，在朋友間流傳。直到二十年後，才把證明發表在日本的雜誌上。

一角的三等分是尺規作圖作不成的。似乎就是這個原因，三分角線的性質就少有人研究。Morley的發現使人不禁感嘆平面幾何中到底還有許多珍品還待發現。

這個題目的解法也是經過許多人的一再嘗試，才變得玲瓏透剔，清晰可理解。

角三分線沒見過，但面對平分線總有些經驗，於是我們把BR與CQ延長相交於P'，如此則P為△P'BC的內心。如圖三，若PQR為正三角形，則【瀏覽原件】，所以RP'＝QP'，而得∠P'RQ＝∠P'QR。因為△P'RQ與△P'BC有共同的頂角P'，所以∠P'RQ＝∠P'QR＝β＋γ；同理可以處理以Q'，R'為頂角的三角形，及其底角的大小。反之，若可證明△P'RQ等為等腰，則由這些底角的大小，可推得△PQR為正三角形。可惜這條路很難走。

PP'不但平分∠P'，當然也平分∠RPQ，因此∠P'PR＝∠P'PQ＝30°。所以我們可以變通一下，如圖四，以P點為頂點，PP'為一邊作∠P'PR＝∠P'PQ＝30°，各交BP'、CP'於R、Q。那麼【瀏覽原件】，因此△PQR為正三角形。如此，我們只要證明AR，AQ為<A的三等分線就好了。

如圖五，在AB、AC上各取BT＝BP，CS＝CP，則TR（＝RP）＝RQ（＝PQ）＝QS，因此只要證明ASQRT同在一個圓上就好了（等弦所對的圓周角相等）。

因為已知∠P'RQ＝β＋γ，∠PRQ＝60°，所以可以算得∠TRQ＝180°－2α。同理∠RQS＝180°－2α。因此∠QRS＝α，∠TRS＝∠TRQ－∠QRS＝180°－3α。由此可知，ATRQ，在同一圓上。同理ARQS也在同一圓上。於是Morley定理就得證了。

如果這兩個題目引起你的興趣，Coxeter的書正等著你來重遊幾何學。

曹亮吉任教於台灣大學數學系，本刊編輯委員

回到最上面

科學月刊全文資料庫

最佳瀏覽解析度800*600，請使用IE4.0以上版本的瀏覽器

科學月刊雜誌社．金台灣資訊事業有限公司．圖龍文化事業股份有限公司版權所有
Copyright 2000 Science Monthly and King-Taiwan Information Technology Inc. All Rights Reserved.