十三世紀的中國數學中心

十三世紀中葉，在金人統治下的（現在）河北、山西南部地區出現了一個以「天元術」為主的數學中心；通過該中心領導數學家們的辛勤耕耘，這個中心不只為中國傳統代數理論體系的完成創造了有利條件，而且也進一步地把中國古代數學推向十三世紀末的高峰。

這個中心的盛況可以由祖頤為朱世傑的「四元玉鑑」所寫之「後序」看出若干端倪，他說：「平陽（今山西臨汾）蔣周撰『益古』，博陸（今河北蠡縣）李文一撰『照膽』，鹿泉（今河北獲鹿）石信道撰『鈴經』，平水（今山西新絳）劉汝諧撰『如積釋鎖』，絳（今山西新絳）人元裕細草之，後人始知有天元也；平陽李德載因撰『兩儀群英集臻』兼有地元；霍山（今山西臨汾）邢先生頌不高弟劉大鑑潤夫撰『乾坤括囊』末僅有人元二問。吾友燕山朱漢卿（按即朱世傑）先生演數有年，探三才之頤，索九章之隱，按天、地、人、物立成四元，……」這一段文字還清楚地交代當時數學家如何從「天元術」發展到「四元術」，是中國數學史上頗為珍貴的史料之一。

那麼，何謂「天元術」呢？就是根據問題的已知條件列出代數方程的方法，而所謂的「天元」即指問題中的未知數；「立天元為某某」也正是「設x為某某」的意思，譬如金元數學家李治對「測圓海鏡」卷七第二題：

假令有圓城一所，不知周徑，或問丙出南門直行一百三十五步而立，甲出東門直行一十六步見之，問徑幾何？所提出的解法，便一開始就說：「立天元一為半城徑」──與現代的「設x為圓城半徑」意義完全相同；接著再運用多項式的加、減、乘、除四則運算，與方程式的移項、相消等步驟，李治最後列出一個相當於「-x⁴+8640x²+652320+4665600=0」的代數方程，並解得一個正根x=12。

有了天元術以後，當時數學家再依次加入地元（第二個未知數）、人元（第三個未知數）及物元（第四個未知數），並結合解多元方程所需的「方程組消元解法」（東漢「九章算術」稱之為「方程術」），最後由元朝數學家朱世傑總結地提出「四元術」──多元高次代數方程組的消元解法。

然而，史家卻認為李治的「測圓海鏡」（1248年）並不是系統敘述天元術的第一部數學著作，元裕的「如積釋鎖細草」才是更早的成熟作品。不過，由於後者失傳，所以我們只能通過前者去了解天元術。而更重要的，是李治的學術生涯與這個中心根本分不開，因此，對李治的生平事蹟略加介紹恐怕是很有必要的。

李治（1192∼1279年），字仁卿，號敬齋，真定欒城（今河北欒城縣）人，是金元時代著名的數學家、文學家與史學家，除著有「測圓海鏡」與「益古演段」兩種數學書籍外，他還著有「泛說」四十卷、「敬齋古今黈」四十卷、「文集」四十卷、「壁書叢削」十二卷。其中「泛說」、「文集」與「壁書叢削」等書均已失傳，現傳「敬齋古今」中有「泛說」的引文。

1230年，李治前往洛陽應試，被錄取為（金國）詞賦科進士，初派高陵（今陝西高陵縣）主簿，因蒙古軍攻入陝西而未赴任，隨即改調鈞州（今河南禹縣）知事。1232年，蒙古軍攻破鈞州城，他棄職北走，先是隱居於晉北崞山（今山西崞縣）的桐川，接著為生活所迫，不得不四處流浪。在這段期間內，他曾經寄寓道觀，結識各地學者，包括當時北方名儒王鶚、張德輝與元好問（元裕）等人。這些經歷對他後來從事「測圓海鏡」與「益古演段」二書的寫作頗有幫助。1251年左右，李治回到他少年時代求學的河北元氏（今河北元氏縣），並在封龍山買了一些田產定居下來，但仍過著隱士的生活。在那裡，他的學術聲望吸引了很多隨學從游的人，與張德輝、元好問的交往尤其接近，時人稱他們為「龍山三老」。李治曾多次蒙元世祖忽必烈召見，但也屢以老病辭官不受，最後終老於封龍山，享年八十八歲。

由上述李治的略傳看來，我們發現他的學術生涯與道觀、漢籍名儒的關係頗為密切；關於後者，我們可以再指出他晚年生活能夠安定下來，乃是得自張德輝、元好問的賞識和支持。至於道觀對他的數學研究應該也會有深刻的影響，比如他曾自述「測圓海鏡」乃是基於「洞淵九容」之說推衍而成，而其中「洞淵」即被認為有可能是全真道派高道的名號。此外，漢籍富豪或許也曾贊助數學研究，此事如聯繫到李治的另一個自述：「予至東平得一算經，大概多明如積之術。」（見「敬齋古今黈」卷三上）自然頗有意義，因為「東平」（今山東一地名）在金元交替之際即有一個稱作嚴實的家族，專以庇護漢人學者著稱於世。

還有，再依據李治在「益古演段」自序中所說：「近世有某者以方圓移補成篇，另『益古集』，……余猶恨其閟匿而不盡發，遂再為移補條段，細繙圖式，使粗知十百者，便得入室啗其文，顧不快哉！」大致可以想像北方數學的傳承關係，在這個過程中，除了數學家透過「游學」以促進學術的交流外，印刷本的數學書籍也理當扮演一個不可或缺的媒介角色。

無論如何，這個「數學中心」的學術活動，大概是在一個或一兩個傑出學者所領導的小團體中進行的。而且，這些學術領袖可能多半是由道觀、漢籍名儒及富豪所贊助、支持的隱士，甚至其學術研究範圍也不僅限於數學而已，比方李治就同時是著名的文學家和史學家。

顯然，十三世紀的這個中國數學中心既不是一種「學術機構」，也不是什麼「學會」，其宗旨當然無法與現代的數學中心或數學學會相提並論，即使拿它與十六、七世紀歐洲的學院與學會比較，大致也是異多於同。後者乃是基於漸多研究數學或科學的人之要求交換情報、會見切磋的願望所組成。例如「山貓學會」（Accademia dei Lincei）就由一群年輕貴族於1601年建立於羅馬（伽利略曾經是它的會員），「實驗研究院」（Accademia del Cimento）最初則是由麥地奇（Medici）家族的兩個成員在1647年創於弗羅倫斯（伽利略的弟子托里拆利曾是該院成員）；至於隨後陸續成立的法國「皇家科學院」、英國「增進自然知識的倫敦皇家學會」與德國的「柏林科學院」等等，也大都擁有類似的宗旨與組織。

這些研究院的重要性，不僅在於它提供學者機會以進行直接的接觸和思想的交流，而且也由於它們所支持的定期刊物，與後來陸續發行的學報或雜誌，建立了發表新研究成果的一種公認媒介。到了十八世紀，歐洲的科學院推動了大部分它們所支持的科學家研究，例如當時的傑出數學家歐拉（Euler）、拉格朗日（Lagrange）、伯努利（Bernoulli）等人就曾經分別得到柏林科學院、聖彼得堡科學院的支持。這些都標誌著歐洲政府正式進入科學領域，並支持科學成就。

不過，直到大約1500年，歐洲的數學還是在由單一的人或一兩個卓越領袖為首的小團體中進行研究。其成果多半通過口述形式交流，偶而也寫成文字──然而，它們都是些手稿，由於複製品必須用手抄寫，因此頗為稀少。相較之下，十三世紀中國北方數學的研究活動似乎活躍多了，以致於能夠創造比同時代歐洲更輝煌的數學成就。儘管如此，這個數學中心的歷史背景仍然值得進一步的考察，平心而論，它或許是十二、三世紀北方學術發展的一個副產品，而非當時學者刻意規畫的成果。這主要可能是在它的發展歷程中，道教（特別是全真道派）和隱士起決定性作用的緣故。當北宋汴京於1127年被金人攻陷後，華北地區即淪入異族的統治之下，許多知識份子為了解除肉體和精神上的痛苦，遂輾轉追求隱居生活；而幾乎在同一時候，全真道派也在華北各地建立道觀，成為苦難人民的庇護所，另一方面，北方有識之士也多能寄身道觀，相機傳道，儼然成為守護中國文化的一股重要力量。全真道派能夠吸引知識份子，自然有它的優異條件，比方創始人王重陽（王）和門人「七真」馬鈺、譚處端、劉處玄、丘處機、王處一、郝大通及其妻孫不二，就大都是兼通儒學的高道之士。此外，由於王重陽的思想主要系出北宋初隱居終南山，並精通象數之學的道教徒陳搏，所以其學問淵源與北宋新儒學者周敦頤、邵雍具有相當多的重疊，因為後二者的哲學體系都是根據陳搏的象數之學而建立起來的。就是在這樣的學術背景下，整天沉緬於神秘思想的隱士或學者們所潛心研究的數學，才會超越「實用」的格局，在十二世紀的數學成就上創造出「天元術」。還值得注意的是，這些學者，比如李治和元好問（元裕）等都不是純粹的數學家，我們認為研究象數之學──新儒學者與道教徒對它都同感興趣──也是他們研究的項目之一；在那個亂世之中，隱士或學者通過帶有神秘色彩的「命數論」（numerology）來尋求安身立命自是可以想像的。

雖然我們無法確定此種命數論與數學之間究竟有何種關連，但在觀念上，後者從前者得到某種啟發似乎也不無可能。事實上，北宋新儒象數之學的根本思想正是：「形由象生，象由數設」，也就是說天下萬物都是形，有數而後有象，有象而後有形；數是最根本的，從而數當然可以用來解釋宇宙與人事各種現象，因此，「數」的涵義對北宋以降的中國人而言，至少包括現在所謂的「數學」、研究曆法的「曆數」以及占卜國運與個人運命的「氣數」、「定數」、「天數」和「命數」等等。無論如何，這一套象數之學的確比「漢書」中的「萬事萬物莫不有數」觀念（以相反的取向）更接近自然哲學的數理結構論；而更進一步地，在李治身上，我們彷彿也看到兩者的匯流──「測圓海鏡」自序說：「數本難窮，吾欲以力強窮之，彼其數不惟不能得其凡，而吾之力且憊矣。然則數果不可窮耶？既已名之數矣，則又何為而不可窮也！故謂數為難窮，斯可；謂數為不可窮，斯不可，何則？彼其冥冥之中，固有昭昭者存；夫昭昭者，其自然之數也。非自然之數，其自然之理也。數一出於自然，吾欲以力強窮之，使隸首復生，亦末如之何也已。苟能推自然之理，以明自然之數，則雖遠而乾端坤倪，幽而神情鬼狀，未有不合者矣。」顯示李治認為數學乃是客觀實在、自然之理的反映，並且認為它是可「窮」的，而非不可「窮」的；是可知的，而非不可知；甚且正由於它是「自然之理」，所以只能按照它的本來面貌去推演而不能「以力強窮」。我們認為此一思想已把數學提升到比較高的層次──研究自然之「理」，這相當接近希臘哲學家亞里斯多德的數理哲學觀點：數學研究的對象，是從物理實體上推演出來的抽象理念。

李治數學成就的最大歷史意義，乃是在這一方面，他的研究工作具體實踐了他自己的數學思想，比如「測圓海鏡」一書即頗能反映「為數學而數學」的精神，而不計較當時某些學者（比如理學家程明道）對「九九賤技」的鄙視──其實，李治對該書是相當自得的。這可求證於他臨終前對兒子克脩的叮嚀：「『測圓海鏡』一書雖九九小數，吾常精思致力焉，后世必有知者。」（見王德淵「測圓海鏡後序」引）至於這個中心的其他數學家領袖如何對待他們自己的數學研究呢？他們是不是也擁有類似李治的數理思想呢？我們深信它們的答案可以幫助我們透視這個數學中心的學術功能，包括其中最主要的部分：究竟當時北方數學界的領袖都各行其是呢？抑是基於同一的或類似的數理哲學而研究「天元術」呢？如果後一種事項成立，那麼，十三世紀中國北方數學發展的內在動力就變得舉足輕重了，而且連帶地，這也容許我們可以進一步論斷：正是基於同一的或類似的數理哲學，使得十三世紀中國北方的「天元術家之歷史」成為「天元術史」！

總而言之，十三世紀中國北方的數學史極清晰地顯示：數學的研究可以在民間的學術團體之中獲得定位，而相反地，當時官方的學術機構在這一方面根本沒有什麼作為。從這一點看，英國科學史大師李約瑟（Joseph Needham）在「中國之科學與文明」卷三中，對十三、十四世紀理論數學的興、衰史實所做的對比解釋也就比較容易理解了，他說：「宋朝（按應包括金元）有許多真正大數學家，無論是庶民或低級官吏，都一齊突破（數學的）傳統官僚任務，各自奔向廣闊的天地；知識的好奇心，現在能夠充分的滿足了。可惜，這一股浪潮並沒有持續多久，熟練於祖沖之『綴術』各種抄本的儒學家，在明朝政權的倒退傾向下捲土重來掌握了權力，於是數學又被局限在各個偏狹衙門的後房了，以致於當東來的傳教士看到這種情景時，竟無一人能把中國過去的榮耀告訴他們。」事實上，日本科學史大師藪內清也有類似的見解，由此可見，隱居民間的學者們（他們都是某些史家所謂的「小傳統」中的成員）的確為十三世紀中國數學做出偉大的貢獻，它的「中心」的歷史地位也由此獲得肯定。

最後，我們還想附帶說明：任何想從「易經」或其「易數」邏輯地導出有意義數理結論的人，都請「慎思而明辨」。因為在數理科學中，所謂「邏輯的推衍」過程早已有了明確而且嚴肅的規範，所以對於無意接受此一規範的檢定，而又汲汲地聲稱「易數」之存在某種科學內涵的論述，我們希望李治的例子能夠提供省察「易數」的一個更恰當的角度。事實上，我們認為「易經」的真正價值恐怕還是在知識論的範疇，而非極為樸素的「易數」方法論；雖然，正如前文一再強調的，李治的數理哲學的確很可能受到「易數」或「象數之學」的啟發，但論其數學成就則是一種不折不扣的「數學」，絕對沒有絲毫「命數論」色彩，愛好「易數」者其請再三思之！

參考資料

1. 洪萬生　十三世紀的中國數學　載吳嘉麗編著「中國科技史」　自然科學文化事業公司　七十二年四月初版

2. 何丙郁　契合自然鎔鑄各科的學說　香港大學中文系講座教授1982年一月二十一日就職講詞

3. 何丙郁（Ho Peng-Yoke）, Li Chih, 載Dictionary of Scientific Biography, Charles Scribner's Sons, New York, 1970.

4. Joseph Needham, Science and Civilisation in China, vol. Ⅲ, Cambridge University Press, 1959.

5. 藪內清　宋元時代科學技術展開　載藪內清編「宋元時代科學技術史」　京都大學人文科學研究所發行　昭和四十二年三月三十日

6. 藪內清「中國數學」　岩波書店　東京1974

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