令人左右為難的懸賞


1983年 8月164期｜上一篇｜下一篇＃發行日期：1983、08 ＃期號：0164 ＃專欄：益智益囊集＃標題：令人左右為難的懸賞＃作者：曹亮吉		令人左右為難的懸賞 Fermat大定理說：n>2時，xⁿ+yⁿ=zⁿ沒有非零的整數解。在科月七十一年十月本欄「變特技為方法」一文裡，我們約略提到Fermat大定理的背景及證明困難所在。在這裡我們要從更多的方向來談這個問題。 Fermat大定理通常稱為Fermat最後定理。「最後」這兩個字的來歷、意義都不清楚。Fermat的本行是律師，數學只是業餘嗜好。他從來不正式發表研究結果。他對數學的想法以及所得到的結果，都是經由書信的方式傳開的。他所宣稱的結果，除了少許的例外，日後都被肯定；唯獨這個大定理，雖然經過三百年來許多第一流數學家的努力，還是懸而未解。也許「最後定理」可解釋成「最後一個還沒解決的定理」。正因為它還是懸而未解，題意又那麼明顯，題目看起來簡單，許多數學家及非數學家都鍥而不捨在鑽研這個題目。稍懂一點數學的人，在思考這個問題後，都會不期然走上代數整數之路以求解答；但代數整數之路卻充滿了陷阱，絆住了許許多多的人。代數整數之路已被理清不少，雖然還不能將這個問題完全解決，但已使人能夠看清楚些困難之所在。沒受過代數數論訓練的人，一進入代數整數之路就註定非跌跤不可，而且往往跌了跤還不自知，還自以為解決了這個大難題。代數整數之路的最大絆腳石就是代數整數不一定有「因數分解唯一」的性質。最早利用代數整數來考慮數論問題之一的十八世紀大數學家Euler在這上頭也跌了一跤。他在處理n=3時，遇到下面的情況：若有兩個互質的整數p、q，使得p²+3q²是個立方數，他想證明p、q可表成 p=a³-9ab²， q=3a²b-3b² Euler的想法如下：因為p²+3q²=(p+√-3q)(p-√-3q)，而在少許的限制下(p+√-3q)與(p-√-3q)在Z[√-3]={a+√-3b｜a,b都是整數｝這種代數整環中是互質的，且其乘積為三次方，所以可援整數因數分解唯一為例，認定(p+√-3q)在Z[√-3]中也非得是一個三次方(a+√-3b)³不可。由 (p+√-3q)=(a+√-3b)³ =a³-9ab²+√-3(3a²b-3b²) 馬上可導得Euler所要的結論。雖然這個代數整環確實有因數分解唯一的性質，但Euler卻用得很自然，從來沒有任何猶豫，而興起要證明這種性質的念頭。因為用其他Euler已知的方法也可以導得上面p、q的a、b表示式，所以縱然Euler的證明有缺陷，我們還是說他把n=3的情形解決了。 n=4的情形，Fermat就證明過了（參閱科月七十一年十月本欄）。又因對某個n質值，Fermat定理若是對的，則對n的任何倍數，這個定理也對，所以我們只要考慮n為質數的情形就好。 1820年代，Dirichlet和Legendre證明了n=5的情形。這次的關鍵式子變成p+√5q=(a+√5b)⁵，但他們比Euler幸運，沒有引用分解因數的方法，用其他正確的方法達成目的。又過了十五年，Lam'e證明了n=7的情形，方法更複雜，而且與7息息相關，不可能提升成為一般情形的解法。經過苦思，在1847年Lam'e自認得到一般的解法。他還是走分解因數的老路子，將xⁿ+yⁿ寫成（ζ為1的n次方根【瀏覽原件】） xⁿ+yⁿ=(x+y)(x+ζy)…(x+ζ^n-1y) 證明在適當的限制下，右邊的因數兩兩互質，而其乘積為一n次方zⁿ，所以任一因數都是代數整環｛a₀+a₁ζ+…+a_n-1ζ^n-1｜a_i都是整數｝中的n次方，由此可得想要的結果。Lam'e在法國科學院上發表結果，當場遭致名數學家Liouville的反對，因為Lam'e假定了這種代數整環具有因數分解唯一的性質。事後Lam'e非常懊惱，寫信給他在柏林的朋友Dirichlet說：要是你在巴黎或我在柏林，這檔事就不會發生。其實他不必去柏林，只要讀一讀幾個月前出版的柏林科學院學報裡Kummer的文章，就足夠使他三思而後行了。 Kummer幾年前在研究數論裡所謂的互逆律時，就理解到這種代數整數的分解因數並不一定要唯一。Kummer在學報上引入了「理想」數的觀念，仔細研究代數整數如何分解因數，並且發現並不一定要有唯一分解的性質，對某些n值，Fermat的問題也可以解決。譬如Kummer用他的方法，一下子就證明了：當n<37時，Fermat的定理都是對的。沿著Kummer所拓展出來的道路，數學家得到愈來愈多關於Fermat定理何時為真的充分條件。但這之中，最常為人所引用的，還是Kummer所提出的，和Bernoulli數有關的條件。 Bernoulli數是Jacob Bernoulli為研究連續整數的n次方和而引進的。我們知道 S₁(m)=1+2+3+…+(m-1)=1/2m²-1/2m S₂(m)=1²+2²+3²+…+(m-1)² =1/3m³-1/2m²+1/6m S₃(m)=1³+2³+3³+…+(m-1)³ =1/4m⁴-1/2m³+1/4m² ^…… 但一般的 S_n(m)=1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+…+(m-1)ⁿ 的公式應該是什麼呢？從上面三個式子，我們約略可以猜出它是個m的n+1次多項式，但係數如何卻不容易看出來。如果把S_n(m)這個多項式寫成【瀏覽原件】則B_k可由【瀏覽原件】及歸納法來決定。譬如，n=2時【瀏覽原件】n=3時【瀏覽原件】n=4時【瀏覽原件】 B_k就稱為第k個Bernoulli數，它是個有理數，而且B_2k+1=0(k≧1),B₂、B₄、B₆、B₈……呈正負相間。 Bernoulli數和Fermat定理的關係是這樣的：如果一個質數n不能整除B₂、B₄、…、B_n-3各分數的分子時，Fermat定理在這樣的n時是對的。這樣的n稱為規則質數，反之則為不規則。對規則質數n而言，Fermat定理是對的；但n不規則並不表示Fermat定理就錯了。譬如，所有小於100的質數中，n=37、59、67是不規則的，但用其他的方法可證，Fermat定理在這三種情形也是對的。因為Bernoulli數B_2k隨著k增長得非常迅速，譬如 B₃₀=8615841276005/14322 所以要驗算一個質數是否規則絕不是一件容易的事；另一方面，遇到不規則質數時，要驗證Fermat定理所需他種充分條件的計算也是驚人的。目前利用計算機計算，已知n≦125000時，Fermat定理為真。從計算的觀點來看，在可計算的範圍內，Fermat定理似乎可確定為真。雖然從已知數據可知大約有60％的質數是規則的，但到現在為止，數學家都還無法證明規則質數不止於有限個，反而已證明了不規則的有無窮多個。從理論的觀點來看，我們對Fermat定理何時為真的了解其實很有限，因為對n很大的情形，我們還是一片空白。如果一味靠計算機計算，而不思理論上的突破，Fermat的問題要能解決恐怕不是很容易的事。數學家常用援例的想法來研究問題，有時無往而不利，有時卻踏入足以致命的陷阱。而當發現身處絕境，苦思補救的方法，又往往可以拓展出一條更開闊的道路，因數分解是個典型的例子。雖然Kummer對Fermat定理的證明貢獻良多，但總認為它只是數論中的一個怪題，不是數論的主流，而認為互逆律才是當時的主流（現在也是）。縱然如此，Kummer對Fermat問題研究的方向卻引起了革命性的改變。一般人總認為數學是門刻板嚴肅的學問，從一個命題到另一個命題都是有規則可尋的。其實這是一般教科書給我們的印象──教科書只把整理好的數學呈現給讀者。大數學家也犯過許多錯誤（Kummer也是），而且往往做了許多個案的計算，慢慢才摸索上正路。像這些嘗試錯誤的心路歷程正表示數學家與常人無異，數學的發展是曲折的，可惜一般教科書都言不及此，因此脫掉不了教科書所給人「教科書式」枯燥的印象。幸好關於Fermat最後定理，我們有一本非教科書式的教科書：H. Edwards所著的Fermat's Last Theorem──A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory。最後我們不得不提有關Fermat定理給獎金的事情。1908年，德國人P. Wolfskehl設立了一個巨額獎金，要獎給首先證明Fermat定理的人。這一下子招引了許多人送來各種自以為是，但漏洞百出的證明。所幸一次世界大戰之後，德國通貨膨脹，獎金變得不值錢，應徵的文章也就少了。二次大戰之後，德國經濟復蘇，獎金值錢起來（現值約為四千美金），又有人想要得獎。候選人必須將證明過程印出來，兩年之內無人指出其非，再經人確定無誤之後，才能得獎。兩年的緩衝期確有必要，因為可以預想絕大多數不成熟的作品在兩年內會被自然淘汰，省得獎金審查委員會疲於奔命。想要得獎的人請先冷靜聽我數言忠告，再動手不遲。首先你該知道這個問題已經有三百年的歷史，許多第一流的數學家都無法竟全功。如果你想走這些數學家的老路，那麼只好把代數數論徹底讀通，看清楚別人發展了那些工具，而這些工具又有什麼缺點，……，所以你該是個職業數學家；但以目前的發展來看，職業數學家成功的機會似乎不多。如果你認為數學家走錯路了，其實只要簡單的論證就可以把問題解決，那麼請你記住：三百年來，不知道有多少人跟你有同樣的想法，但全遭同樣的命運，所以你會有意外收穫的機會微乎其微。如果你不信邪，一定要做，一定要把結果送到數學家那裡請求鑑定，那麼請你付一筆審查費。數學家就會找一個研究生來，請他找出你出錯的第一個地方，證明在第幾頁第幾行，然後送還給你。也許你異想天開，認為Fermat定理不一定對，想找一個反例，也可以一舉成名。但是Fermat定理如果不對，n也要在125000之外，一般的計算機無法幫你這個忙，而且獎金並不頒給舉出反例的人。這真是一個令人左右為難的懸賞。曹亮吉任教於台大數學系，本刊編輯委員。
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1983年 8月164期｜上一篇｜下一篇＃發行日期：1983、08 ＃期號：0164 ＃專欄：益智益囊集＃標題：令人左右為難的懸賞＃作者：曹亮吉		令人左右為難的懸賞 Fermat大定理說：n>2時，xⁿ+yⁿ=zⁿ沒有非零的整數解。在科月七十一年十月本欄「變特技為方法」一文裡，我們約略提到Fermat大定理的背景及證明困難所在。在這裡我們要從更多的方向來談這個問題。 Fermat大定理通常稱為Fermat最後定理。「最後」這兩個字的來歷、意義都不清楚。Fermat的本行是律師，數學只是業餘嗜好。他從來不正式發表研究結果。他對數學的想法以及所得到的結果，都是經由書信的方式傳開的。他所宣稱的結果，除了少許的例外，日後都被肯定；唯獨這個大定理，雖然經過三百年來許多第一流數學家的努力，還是懸而未解。也許「最後定理」可解釋成「最後一個還沒解決的定理」。正因為它還是懸而未解，題意又那麼明顯，題目看起來簡單，許多數學家及非數學家都鍥而不捨在鑽研這個題目。稍懂一點數學的人，在思考這個問題後，都會不期然走上代數整數之路以求解答；但代數整數之路卻充滿了陷阱，絆住了許許多多的人。代數整數之路已被理清不少，雖然還不能將這個問題完全解決，但已使人能夠看清楚些困難之所在。沒受過代數數論訓練的人，一進入代數整數之路就註定非跌跤不可，而且往往跌了跤還不自知，還自以為解決了這個大難題。代數整數之路的最大絆腳石就是代數整數不一定有「因數分解唯一」的性質。最早利用代數整數來考慮數論問題之一的十八世紀大數學家Euler在這上頭也跌了一跤。他在處理n=3時，遇到下面的情況：若有兩個互質的整數p、q，使得p²+3q²是個立方數，他想證明p、q可表成 p=a³-9ab²， q=3a²b-3b² Euler的想法如下：因為p²+3q²=(p+√-3q)(p-√-3q)，而在少許的限制下(p+√-3q)與(p-√-3q)在Z[√-3]={a+√-3b｜a,b都是整數｝這種代數整環中是互質的，且其乘積為三次方，所以可援整數因數分解唯一為例，認定(p+√-3q)在Z[√-3]中也非得是一個三次方(a+√-3b)³不可。由 (p+√-3q)=(a+√-3b)³ =a³-9ab²+√-3(3a²b-3b²) 馬上可導得Euler所要的結論。雖然這個代數整環確實有因數分解唯一的性質，但Euler卻用得很自然，從來沒有任何猶豫，而興起要證明這種性質的念頭。因為用其他Euler已知的方法也可以導得上面p、q的a、b表示式，所以縱然Euler的證明有缺陷，我們還是說他把n=3的情形解決了。 n=4的情形，Fermat就證明過了（參閱科月七十一年十月本欄）。又因對某個n質值，Fermat定理若是對的，則對n的任何倍數，這個定理也對，所以我們只要考慮n為質數的情形就好。 1820年代，Dirichlet和Legendre證明了n=5的情形。這次的關鍵式子變成p+√5q=(a+√5b)⁵，但他們比Euler幸運，沒有引用分解因數的方法，用其他正確的方法達成目的。又過了十五年，Lam'e證明了n=7的情形，方法更複雜，而且與7息息相關，不可能提升成為一般情形的解法。經過苦思，在1847年Lam'e自認得到一般的解法。他還是走分解因數的老路子，將xⁿ+yⁿ寫成（ζ為1的n次方根【瀏覽原件】） xⁿ+yⁿ=(x+y)(x+ζy)…(x+ζ^n-1y) 證明在適當的限制下，右邊的因數兩兩互質，而其乘積為一n次方zⁿ，所以任一因數都是代數整環｛a₀+a₁ζ+…+a_n-1ζ^n-1｜a_i都是整數｝中的n次方，由此可得想要的結果。Lam'e在法國科學院上發表結果，當場遭致名數學家Liouville的反對，因為Lam'e假定了這種代數整環具有因數分解唯一的性質。事後Lam'e非常懊惱，寫信給他在柏林的朋友Dirichlet說：要是你在巴黎或我在柏林，這檔事就不會發生。其實他不必去柏林，只要讀一讀幾個月前出版的柏林科學院學報裡Kummer的文章，就足夠使他三思而後行了。 Kummer幾年前在研究數論裡所謂的互逆律時，就理解到這種代數整數的分解因數並不一定要唯一。Kummer在學報上引入了「理想」數的觀念，仔細研究代數整數如何分解因數，並且發現並不一定要有唯一分解的性質，對某些n值，Fermat的問題也可以解決。譬如Kummer用他的方法，一下子就證明了：當n<37時，Fermat的定理都是對的。沿著Kummer所拓展出來的道路，數學家得到愈來愈多關於Fermat定理何時為真的充分條件。但這之中，最常為人所引用的，還是Kummer所提出的，和Bernoulli數有關的條件。 Bernoulli數是Jacob Bernoulli為研究連續整數的n次方和而引進的。我們知道 S₁(m)=1+2+3+…+(m-1)=1/2m²-1/2m S₂(m)=1²+2²+3²+…+(m-1)² =1/3m³-1/2m²+1/6m S₃(m)=1³+2³+3³+…+(m-1)³ =1/4m⁴-1/2m³+1/4m² ^…… 但一般的 S_n(m)=1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+…+(m-1)ⁿ 的公式應該是什麼呢？從上面三個式子，我們約略可以猜出它是個m的n+1次多項式，但係數如何卻不容易看出來。如果把S_n(m)這個多項式寫成【瀏覽原件】則B_k可由【瀏覽原件】及歸納法來決定。譬如，n=2時【瀏覽原件】n=3時【瀏覽原件】n=4時【瀏覽原件】 B_k就稱為第k個Bernoulli數，它是個有理數，而且B_2k+1=0(k≧1),B₂、B₄、B₆、B₈……呈正負相間。 Bernoulli數和Fermat定理的關係是這樣的：如果一個質數n不能整除B₂、B₄、…、B_n-3各分數的分子時，Fermat定理在這樣的n時是對的。這樣的n稱為規則質數，反之則為不規則。對規則質數n而言，Fermat定理是對的；但n不規則並不表示Fermat定理就錯了。譬如，所有小於100的質數中，n=37、59、67是不規則的，但用其他的方法可證，Fermat定理在這三種情形也是對的。因為Bernoulli數B_2k隨著k增長得非常迅速，譬如 B₃₀=8615841276005/14322 所以要驗算一個質數是否規則絕不是一件容易的事；另一方面，遇到不規則質數時，要驗證Fermat定理所需他種充分條件的計算也是驚人的。目前利用計算機計算，已知n≦125000時，Fermat定理為真。從計算的觀點來看，在可計算的範圍內，Fermat定理似乎可確定為真。雖然從已知數據可知大約有60％的質數是規則的，但到現在為止，數學家都還無法證明規則質數不止於有限個，反而已證明了不規則的有無窮多個。從理論的觀點來看，我們對Fermat定理何時為真的了解其實很有限，因為對n很大的情形，我們還是一片空白。如果一味靠計算機計算，而不思理論上的突破，Fermat的問題要能解決恐怕不是很容易的事。數學家常用援例的想法來研究問題，有時無往而不利，有時卻踏入足以致命的陷阱。而當發現身處絕境，苦思補救的方法，又往往可以拓展出一條更開闊的道路，因數分解是個典型的例子。雖然Kummer對Fermat定理的證明貢獻良多，但總認為它只是數論中的一個怪題，不是數論的主流，而認為互逆律才是當時的主流（現在也是）。縱然如此，Kummer對Fermat問題研究的方向卻引起了革命性的改變。一般人總認為數學是門刻板嚴肅的學問，從一個命題到另一個命題都是有規則可尋的。其實這是一般教科書給我們的印象──教科書只把整理好的數學呈現給讀者。大數學家也犯過許多錯誤（Kummer也是），而且往往做了許多個案的計算，慢慢才摸索上正路。像這些嘗試錯誤的心路歷程正表示數學家與常人無異，數學的發展是曲折的，可惜一般教科書都言不及此，因此脫掉不了教科書所給人「教科書式」枯燥的印象。幸好關於Fermat最後定理，我們有一本非教科書式的教科書：H. Edwards所著的Fermat's Last Theorem──A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory。最後我們不得不提有關Fermat定理給獎金的事情。1908年，德國人P. Wolfskehl設立了一個巨額獎金，要獎給首先證明Fermat定理的人。這一下子招引了許多人送來各種自以為是，但漏洞百出的證明。所幸一次世界大戰之後，德國通貨膨脹，獎金變得不值錢，應徵的文章也就少了。二次大戰之後，德國經濟復蘇，獎金值錢起來（現值約為四千美金），又有人想要得獎。候選人必須將證明過程印出來，兩年之內無人指出其非，再經人確定無誤之後，才能得獎。兩年的緩衝期確有必要，因為可以預想絕大多數不成熟的作品在兩年內會被自然淘汰，省得獎金審查委員會疲於奔命。想要得獎的人請先冷靜聽我數言忠告，再動手不遲。首先你該知道這個問題已經有三百年的歷史，許多第一流的數學家都無法竟全功。如果你想走這些數學家的老路，那麼只好把代數數論徹底讀通，看清楚別人發展了那些工具，而這些工具又有什麼缺點，……，所以你該是個職業數學家；但以目前的發展來看，職業數學家成功的機會似乎不多。如果你認為數學家走錯路了，其實只要簡單的論證就可以把問題解決，那麼請你記住：三百年來，不知道有多少人跟你有同樣的想法，但全遭同樣的命運，所以你會有意外收穫的機會微乎其微。如果你不信邪，一定要做，一定要把結果送到數學家那裡請求鑑定，那麼請你付一筆審查費。數學家就會找一個研究生來，請他找出你出錯的第一個地方，證明在第幾頁第幾行，然後送還給你。也許你異想天開，認為Fermat定理不一定對，想找一個反例，也可以一舉成名。但是Fermat定理如果不對，n也要在125000之外，一般的計算機無法幫你這個忙，而且獎金並不頒給舉出反例的人。這真是一個令人左右為難的懸賞。曹亮吉任教於台大數學系，本刊編輯委員。
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