Ptolemy定理的弦內之音


1980年10月130期｜上一篇｜下一篇＃發行日期：1980、10 ＃期號：0130 ＃專欄：益智益囊集＃標題：Ptolemy定理的弦內之音＃作者：曹亮吉．表一．表二．圖一．圖二．圖三．圖四．圖五		Ptolemy定理的弦內之音上期我們說過，亞歷山大希臘的三角學及天文學由Claudius Ptolemy整理成「Almagest」一書，而成為其後千餘年的範本。 Almagest原來的書名為「數學論文集」，但因本書內容之豐富遠非其他有關天文的書籍可比，所以被稱為「偉大（megiste）論文集」，以別於其他不那麼偉大的書籍。這本書傳到阿拉伯人手裡，變成「最偉大」，加上阿拉伯文的冠詞，就成了Almagest。 Almagest的主體是天文學，三角學只佔其中的一部分。我們要來看一看其中的平面三角學。Ptolemy把圓周分成360度，每一度有60分，每一分有60秒，又把半徑定為60單位長。他考慮x度弧所對應的弦長crd x，給了一張間隔為1/2度的弦函數crd x數值表，並說明製得此表的過程。表一的左側就是Almagest中弦函數表的開頭及末尾，右側則為其譯文。原文是希臘文，甚至數目字也用希臘字母來表示。希臘人用其原有的24個字母，加上借來的3個字母，來表示1至9九個個位數，10, 20,……,90九個十位數，以及100, 200,……,900九個百位數。這樣一千以下的數字就可以由此27個字母組合而成。若代表1, 2,……的字母α ,β, ……前加個逗點，就成了1000, 2000，……（見表二）。表一弦值中的小數部分為60進位（在表一右側，分號「；」表小數點），這是因為希臘及埃及都沒有小數，只得借用巴比倫的60進位小數表法之故。（參閱科月69年5月本欄） Ptolemy製表的過程，可分為下列幾個步驟。一、由歐幾里得時就知道的圓內接正三、四、五、六、十邊形的邊長，得到相應的crd 120°、crd90°、crd 72°、crd 60°、crd36°之值。二、Ptolemy定理：設ABCD為圓內接四邊形，則 AB．CD+AD．BC=AC．BD。證明：在BD上取E點（見圖一），使得∠DAE=∠CAB。因△ADE及△ACB有兩角相等而相似，可得AD．BC=DE．AC。同理△AEB與△ADC相似，而有AB．CD=BE．AC，兩式相加即得定理。這個定理陳述簡單，證明俐落，堪稱平面幾何的精華之一。但誰又想到它會另有弦內之音──Ptolemy是用它來做弦函數表的！原來這個定理相當於弦函數的和、差角公式。設【瀏覽原件】,【瀏覽原件】，而弦AC=crd x, AB=crd y為已知，則弦BC=crd（x-y）可用下面的方法求得（見圖二）：作直徑AD。用畢氏定理，BD、CD的長度可由已知的長度AB、AC求得，然後用Ptolemy定理就得BC。亦即 crd(x-y)=1/120[crd x crd(180°-y)-crd(180°-x)crd y] 這是差角公式。其次，設【瀏覽原件】，而弦AB=crd x，BC=crd y為已知，則弦AC=crd（x+y）可用下面瀏覽原件方法求得（見圖三）：作直徑AD及BE，則DE=AB。用畢氏定理，由AB及BC長可得BD及CE長。然後把Ptolemy定理用在四邊形BCDE上，得CD長。最後再用畢氏定理，就得AC長。這就是和角公式 CD=crd [180°-(x+y)] 　 =1/120[crd (180°-x)crd(180°-y)-crd x crd y] 三、半角公式。設B為【瀏覽原件】的中點，已知AC的長度，我們可用下面的方法求得BC長（見圖四）：作直徑CD，取DE=AD，則△ADB與△BDE全等，所以BC=AB=BE。作等腰三角形△EBC的中垂線BF，則 FC=1/2CE=1/2(CD-DE)=1/2(CD-AD) 因AD可由AC求得，所以FC也可求得。又由直角三角形△BFC與△DBC相似，可得BC²=CD．FC，所以BC可以求得。若寫成弦函數的關係式，則（令【瀏覽原件】）得半角公式【瀏覽原件】有了弦函數的差角公式，Ptolemy由crd 72°及crd 60°求得crd 12°，再由半角公式依次求得crd6°、crd3°、crd(3/2)°、crd(3/4)°。因為crd(3/4)°=0約為crd(3/2)°=1; 34,15之半，而角度(3/4)°恰為crd(3/2)°之半，所以由內插法原理，似乎可以假定crd1°=2/3crd (3/2)°=1; 2,50。為了確定crd 1°之值準確到60進位小數第二位無疑，Ptolemy又用幾何方法證明下面的不等式：若弧x比弧y大，則crd x/crd y<x/y。這個不等式的證明有點複雜，但蠻具幾何直觀（見圖五）。在不等式中，若取x=(3/2)°，y=1°，則crd1°>2/3crd(3/2)°=1; 2,50；若取x=1°，y=(3/4)°，則 crd1°<4/3crd(3/4)°=1; 2,50。由此兩不等式，可確定crd 1°準確到小數第二位之值為1; 2, 50。（問題：若crd 1°=1; 2, 50，則圓周率的值是多少？）四、有了crd 1°之值，再由半角公式求得crd(1/2)°，然後再用和角公式，整個弦函數表就做出來了。表一的第三欄「六十分之一」表示在相應度數附近，每差六十分之一度（即一分）時，弦函數值之差。它用來做內插之用，譬如(13/2)°=6; 48,11，相應的「六十分之一」為0; 1, 2, 43，則6°32'=(6; 48, 11)+2(0; 1, 2, 43)=6; 50, 16, 26。我們知道弦函數和正、餘弦函數之間有簡單的關係： crd x=120sin(x/2), crd(180°-x)=120cos(x/2), 弦函數的和、差角公式及半角公式也可變成正、餘弦函數的相應公式，它們一樣可以用來製造正、餘弦函數表，這是不用微積分的傳統三角函數製表法。有了微積分，我們知道如何用多項式逼近三角函數，而能迅速算得三角函數值。譬如用x-x³/3!+x⁵/5!-x⁷/7!代替sin x（x表弧度），則在0≤x≤π/4範圍內，可以準確到小數第六位。固然微積分使三角函數製表變成簡單輕鬆的工作，但以Ptolemy定理為基石的古典製表法，自有其歷史及數學美的價值，可惜中學數學課本都言不及此。曹亮吉現任教於台大數學系，本刊編輯委員。
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1980年10月130期｜上一篇｜下一篇＃發行日期：1980、10 ＃期號：0130 ＃專欄：益智益囊集＃標題：Ptolemy定理的弦內之音＃作者：曹亮吉．表一．表二．圖一．圖二．圖三．圖四．圖五		Ptolemy定理的弦內之音上期我們說過，亞歷山大希臘的三角學及天文學由Claudius Ptolemy整理成「Almagest」一書，而成為其後千餘年的範本。 Almagest原來的書名為「數學論文集」，但因本書內容之豐富遠非其他有關天文的書籍可比，所以被稱為「偉大（megiste）論文集」，以別於其他不那麼偉大的書籍。這本書傳到阿拉伯人手裡，變成「最偉大」，加上阿拉伯文的冠詞，就成了Almagest。 Almagest的主體是天文學，三角學只佔其中的一部分。我們要來看一看其中的平面三角學。Ptolemy把圓周分成360度，每一度有60分，每一分有60秒，又把半徑定為60單位長。他考慮x度弧所對應的弦長crd x，給了一張間隔為1/2度的弦函數crd x數值表，並說明製得此表的過程。表一的左側就是Almagest中弦函數表的開頭及末尾，右側則為其譯文。原文是希臘文，甚至數目字也用希臘字母來表示。希臘人用其原有的24個字母，加上借來的3個字母，來表示1至9九個個位數，10, 20,……,90九個十位數，以及100, 200,……,900九個百位數。這樣一千以下的數字就可以由此27個字母組合而成。若代表1, 2,……的字母α ,β, ……前加個逗點，就成了1000, 2000，……（見表二）。表一弦值中的小數部分為60進位（在表一右側，分號「；」表小數點），這是因為希臘及埃及都沒有小數，只得借用巴比倫的60進位小數表法之故。（參閱科月69年5月本欄） Ptolemy製表的過程，可分為下列幾個步驟。一、由歐幾里得時就知道的圓內接正三、四、五、六、十邊形的邊長，得到相應的crd 120°、crd90°、crd 72°、crd 60°、crd36°之值。二、Ptolemy定理：設ABCD為圓內接四邊形，則 AB．CD+AD．BC=AC．BD。證明：在BD上取E點（見圖一），使得∠DAE=∠CAB。因△ADE及△ACB有兩角相等而相似，可得AD．BC=DE．AC。同理△AEB與△ADC相似，而有AB．CD=BE．AC，兩式相加即得定理。這個定理陳述簡單，證明俐落，堪稱平面幾何的精華之一。但誰又想到它會另有弦內之音──Ptolemy是用它來做弦函數表的！原來這個定理相當於弦函數的和、差角公式。設【瀏覽原件】,【瀏覽原件】，而弦AC=crd x, AB=crd y為已知，則弦BC=crd（x-y）可用下面的方法求得（見圖二）：作直徑AD。用畢氏定理，BD、CD的長度可由已知的長度AB、AC求得，然後用Ptolemy定理就得BC。亦即 crd(x-y)=1/120[crd x crd(180°-y)-crd(180°-x)crd y] 這是差角公式。其次，設【瀏覽原件】，而弦AB=crd x，BC=crd y為已知，則弦AC=crd（x+y）可用下面瀏覽原件方法求得（見圖三）：作直徑AD及BE，則DE=AB。用畢氏定理，由AB及BC長可得BD及CE長。然後把Ptolemy定理用在四邊形BCDE上，得CD長。最後再用畢氏定理，就得AC長。這就是和角公式 CD=crd [180°-(x+y)] 　 =1/120[crd (180°-x)crd(180°-y)-crd x crd y] 三、半角公式。設B為【瀏覽原件】的中點，已知AC的長度，我們可用下面的方法求得BC長（見圖四）：作直徑CD，取DE=AD，則△ADB與△BDE全等，所以BC=AB=BE。作等腰三角形△EBC的中垂線BF，則 FC=1/2CE=1/2(CD-DE)=1/2(CD-AD) 因AD可由AC求得，所以FC也可求得。又由直角三角形△BFC與△DBC相似，可得BC²=CD．FC，所以BC可以求得。若寫成弦函數的關係式，則（令【瀏覽原件】）得半角公式【瀏覽原件】有了弦函數的差角公式，Ptolemy由crd 72°及crd 60°求得crd 12°，再由半角公式依次求得crd6°、crd3°、crd(3/2)°、crd(3/4)°。因為crd(3/4)°=0約為crd(3/2)°=1; 34,15之半，而角度(3/4)°恰為crd(3/2)°之半，所以由內插法原理，似乎可以假定crd1°=2/3crd (3/2)°=1; 2,50。為了確定crd 1°之值準確到60進位小數第二位無疑，Ptolemy又用幾何方法證明下面的不等式：若弧x比弧y大，則crd x/crd y<x/y。這個不等式的證明有點複雜，但蠻具幾何直觀（見圖五）。在不等式中，若取x=(3/2)°，y=1°，則crd1°>2/3crd(3/2)°=1; 2,50；若取x=1°，y=(3/4)°，則 crd1°<4/3crd(3/4)°=1; 2,50。由此兩不等式，可確定crd 1°準確到小數第二位之值為1; 2, 50。（問題：若crd 1°=1; 2, 50，則圓周率的值是多少？）四、有了crd 1°之值，再由半角公式求得crd(1/2)°，然後再用和角公式，整個弦函數表就做出來了。表一的第三欄「六十分之一」表示在相應度數附近，每差六十分之一度（即一分）時，弦函數值之差。它用來做內插之用，譬如(13/2)°=6; 48,11，相應的「六十分之一」為0; 1, 2, 43，則6°32'=(6; 48, 11)+2(0; 1, 2, 43)=6; 50, 16, 26。我們知道弦函數和正、餘弦函數之間有簡單的關係： crd x=120sin(x/2), crd(180°-x)=120cos(x/2), 弦函數的和、差角公式及半角公式也可變成正、餘弦函數的相應公式，它們一樣可以用來製造正、餘弦函數表，這是不用微積分的傳統三角函數製表法。有了微積分，我們知道如何用多項式逼近三角函數，而能迅速算得三角函數值。譬如用x-x³/3!+x⁵/5!-x⁷/7!代替sin x（x表弧度），則在0≤x≤π/4範圍內，可以準確到小數第六位。固然微積分使三角函數製表變成簡單輕鬆的工作，但以Ptolemy定理為基石的古典製表法，自有其歷史及數學美的價值，可惜中學數學課本都言不及此。曹亮吉現任教於台大數學系，本刊編輯委員。
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