換取無窮的時間


1981年12月144期｜上一篇｜下一篇＃發行日期：1981、12 ＃期號：0144 ＃專欄：益智益囊集＃標題：換取無窮的時間＃作者：曹亮吉．圖一．圖：Napier ．圖二．圖：曹亮吉現任教於台灣大學數學系，本刊編輯委員。		換取無窮的時間十八世紀法國著名的數學家Laplace（1749～1827年）說過：對數的發明，簡化了計算，使天文學家的壽命增加了一倍。對數的要點就是化較難的乘除計算為較容易的加減計算，而乘除計算又正是天文學中經常需要的。譬如天文學中常用的球面三角公式，往往含有幾個三角函數值的乘積，直接計算不但費時，而且容易弄錯。在對數發明前，化乘積為加減的最主要公式，就是三角學中的四個積化和差公式。其中2cosAcosB＝cos(A＋B)＋cos(A－B)這個公式，阿拉伯數學家ibn-Yunus就提起過（約1008年）。十六世紀末，法國數學家F.Vièta（1540～1603年）由幾何圖形導出所有的四個公式。譬如在圖一中，x、y各表【瀏覽原件】、【瀏覽原件】，則x－y代表【瀏覽原件】，因此【瀏覽原件】令A=(x+y)/2，B=(x-y)/2，則上式就是2sinAcosB＝sin(A＋B)＋sin(A－B)。（習題：用類似的方法求得其他三個積化和差的公式。）這些公式不但簡化三角函數值乘積的計算，而且求任何兩數乘積時也可以借其一臂之力。譬如要算12.19×544.6，先查表得sin7°=.1219，cos57°=.5446，所以【瀏覽原件】。積化和差的三角公式雖然還很管用，但文藝復興後，面對研究所需大量的乘除計算，天文學家還是期待有更簡便的計算方法。對數的發明者John Napier（1550～1617年），是個業餘數學家。他是蘇格蘭Murchiston地方的地主，經營大量的房地產，寫過反天主教的文章（他自認這方面是生平最得意的著作），發明各種兵器。他在數學方面的興趣止於三角學與計算，但貢獻非凡。Napier關於球面三角公式的記憶絕招（見科月69年12月本欄）及Napier算棒（科月70年1月）都是可愛的作品，而對數的發明更確立他在數學史上的地位。在1590年左右，Napier大概是聽到天文學家Tyco Brahe等人用積化和差三角公式簡化計算後，開始研究對數。起先他注意到一個幾何數列｛aⁿ｝和其相應冪數算術數列｛n｝之間的關係：幾何數列中的兩項相乘（除），相當於算術數列中相應的兩項相加（減），這是乘除化加減的一個辦法。如果任何數都可以寫成a的某次方，則兩數相乘除就不成問題，但可惜縱使取a=2這樣小的數，2ⁿ之間的間隔還是太大，且當時非整次方的觀念還不成熟。於是Napier想到取a為一個非常近於1的數，使得aⁿ間的距離很小。古時的正弦函數不看成比例（其他三角函數亦然），而是先固定圓半徑長，再談相應於角度的（半）弦長（見科月69年9月本欄）。而Napier時常用的圓半徑長10⁷（也就是說三角函數表為7位小數），所以他選a為1－1/10⁷，又為了避開小數，且讓冪積之值散開，所以考慮幾何數列｛10⁷(1－1/10⁷)ⁿ｝（只計算整數部分），則此數列相鄰兩項之間不超過1，而任何0與10⁷之間的整數都要等於某個10⁷(1－1/10⁷)ⁿ。設x=10⁷(1－1/10⁷)ⁿ，則n就是x的Napier對數值，記做㏒_Nx=n（N代表Napier），其與x的「真正」對數值的關係是這樣的：令【瀏覽原件】，則由【瀏覽原件】，可得【瀏覽原件】，即，把原數與其Napier對數各除以10⁷，則得以b為底數的對數。雖然Napier對數不是「純正」的對數，但它仍然有如下的性質：【瀏覽原件】，所以一樣可以簡化乘法的計算。 Napier的著眼點在於建立㏒_N(10⁷sinθ)數值表（因半徑＝10⁷，Napier時的正弦長為10⁷sinθ），θ相間1分，從0°列到90°；若sin1'=(1－1/10⁷)ⁿ，則n要大於800萬，要直接計算這麼多次方是不可能的。Napier有種種巧妙的逼近法才使計算變成可能，但整個製表工作仍然浩大無比，前後耗去20年工夫才大功告成。在1614年發表的對數中，Napier卻用運動的觀點來解釋對數。如圖二，設有一直線AB長為r（譬如10⁷或其他整數），一動點C在AB上由A往B移動，假定C點的運動速度等於BC的長度x。又有另一直線DE（【瀏覽原件】方向可以無限延伸），一動點F在其上由D往右做等速運動，速度為r。則DF的長度n就是同一時刻的BC長x的Napier對數。在這種模式中，C點的運動相當於幾何數列，而F點的運動則相當於算術數列。由於Napier生在伽利略及牛頓之前，他所談的速度應該不是瞬間速度，而可能指的是把時間等分成長為1/r的小段後，C點在每一小段上所保持的等速度〔其速度為x；Napier在說明時，用velocities（＝各小段上的各個速度），而不用Velocity，似乎可以肯定這種看法。〕，如此則很容易證得，在第n個時間分點時BC的長度為x=r(1-1/r)ⁿ，而DF的長度為n，由此就得到原有的幾何與算術兩數列（取r=10⁷）。如果速度解釋成瞬間速度，則由微分方程式-dx/dt=x，rt=n可解得【瀏覽原件】。因【瀏覽原件】非常接近【瀏覽原件】，所以這種運動解釋可看成原有觀點的精緻極限化；若r=10¹⁵（十六世紀有人以此為圓半徑，造15位三角函數表），則所用b值【瀏覽原件】更要接近於1/e。 Napier的對數表一經發表，立刻引起廣泛的注意，其中尤以倫敦Gresham書院的Henry Briggs（1561～1631年）更是興致高昂。Briggs於次年親往愛丁堡造訪Napier，二氏在這次會談中。終於看清對數的本質，雙方同意對數不限用於三角函數值，而且在十進位計算中，以10為底的對數表最為方便，這就是常用對數了。可惜這時Napier年事已高，製表工作只好由Briggs及其他人接棒完成。 Briggs的8位常用對數表的造法如下：首先用不斷開方法算得下表【瀏覽原件】設1≦x＜10，在上表中找出最近於（但不大於）x的數【瀏覽原件】，以之除x，得商x₁，即【瀏覽原件】。用同樣的方法處理x₁得x₂,…x_n，即【瀏覽原件】、【瀏覽原件】，{x_n}為遞減而趨近於1的數列。因【瀏覽原件】，所以如果x_n－1只在小數點下第m位才有值，則【瀏覽原件】就會準確到第m－1位小數。（習題：利用上表計算㏒₁₀5到第6位小數。）在計算10的2ⁿ次方根時，Briggs用一種偷巧的辦法：設【瀏覽原件】，則【瀏覽原件】。若α很小，則α²可略去不計，再由兩式消去α，就得【瀏覽原件】，亦即【瀏覽原件】的小數部分為【瀏覽原件】小數部分的一半，這在上表中的右欄就看得出來。有了Napier及Briggs等人花了幾十年的心血，後來的天文學家每個人都可省去一半的時間。以有限的生命換取無窮的時間，這是計算史上的一大手筆。
		回到最上面
科學月刊全文資料庫最佳瀏覽解析度800*600，請使用IE4.0以上版本的瀏覽器科學月刊雜誌社．金台灣資訊事業有限公司．圖龍文化事業股份有限公司版權所有 Copyright 2000 Science Monthly and King-Taiwan Information Technology Inc. All Rights Reserved.


1981年12月144期｜上一篇｜下一篇＃發行日期：1981、12 ＃期號：0144 ＃專欄：益智益囊集＃標題：換取無窮的時間＃作者：曹亮吉．圖一．圖：Napier ．圖二．圖：曹亮吉現任教於台灣大學數學系，本刊編輯委員。		換取無窮的時間十八世紀法國著名的數學家Laplace（1749～1827年）說過：對數的發明，簡化了計算，使天文學家的壽命增加了一倍。對數的要點就是化較難的乘除計算為較容易的加減計算，而乘除計算又正是天文學中經常需要的。譬如天文學中常用的球面三角公式，往往含有幾個三角函數值的乘積，直接計算不但費時，而且容易弄錯。在對數發明前，化乘積為加減的最主要公式，就是三角學中的四個積化和差公式。其中2cosAcosB＝cos(A＋B)＋cos(A－B)這個公式，阿拉伯數學家ibn-Yunus就提起過（約1008年）。十六世紀末，法國數學家F.Vièta（1540～1603年）由幾何圖形導出所有的四個公式。譬如在圖一中，x、y各表【瀏覽原件】、【瀏覽原件】，則x－y代表【瀏覽原件】，因此【瀏覽原件】令A=(x+y)/2，B=(x-y)/2，則上式就是2sinAcosB＝sin(A＋B)＋sin(A－B)。（習題：用類似的方法求得其他三個積化和差的公式。）這些公式不但簡化三角函數值乘積的計算，而且求任何兩數乘積時也可以借其一臂之力。譬如要算12.19×544.6，先查表得sin7°=.1219，cos57°=.5446，所以【瀏覽原件】。積化和差的三角公式雖然還很管用，但文藝復興後，面對研究所需大量的乘除計算，天文學家還是期待有更簡便的計算方法。對數的發明者John Napier（1550～1617年），是個業餘數學家。他是蘇格蘭Murchiston地方的地主，經營大量的房地產，寫過反天主教的文章（他自認這方面是生平最得意的著作），發明各種兵器。他在數學方面的興趣止於三角學與計算，但貢獻非凡。Napier關於球面三角公式的記憶絕招（見科月69年12月本欄）及Napier算棒（科月70年1月）都是可愛的作品，而對數的發明更確立他在數學史上的地位。在1590年左右，Napier大概是聽到天文學家Tyco Brahe等人用積化和差三角公式簡化計算後，開始研究對數。起先他注意到一個幾何數列｛aⁿ｝和其相應冪數算術數列｛n｝之間的關係：幾何數列中的兩項相乘（除），相當於算術數列中相應的兩項相加（減），這是乘除化加減的一個辦法。如果任何數都可以寫成a的某次方，則兩數相乘除就不成問題，但可惜縱使取a=2這樣小的數，2ⁿ之間的間隔還是太大，且當時非整次方的觀念還不成熟。於是Napier想到取a為一個非常近於1的數，使得aⁿ間的距離很小。古時的正弦函數不看成比例（其他三角函數亦然），而是先固定圓半徑長，再談相應於角度的（半）弦長（見科月69年9月本欄）。而Napier時常用的圓半徑長10⁷（也就是說三角函數表為7位小數），所以他選a為1－1/10⁷，又為了避開小數，且讓冪積之值散開，所以考慮幾何數列｛10⁷(1－1/10⁷)ⁿ｝（只計算整數部分），則此數列相鄰兩項之間不超過1，而任何0與10⁷之間的整數都要等於某個10⁷(1－1/10⁷)ⁿ。設x=10⁷(1－1/10⁷)ⁿ，則n就是x的Napier對數值，記做㏒_Nx=n（N代表Napier），其與x的「真正」對數值的關係是這樣的：令【瀏覽原件】，則由【瀏覽原件】，可得【瀏覽原件】，即，把原數與其Napier對數各除以10⁷，則得以b為底數的對數。雖然Napier對數不是「純正」的對數，但它仍然有如下的性質：【瀏覽原件】，所以一樣可以簡化乘法的計算。 Napier的著眼點在於建立㏒_N(10⁷sinθ)數值表（因半徑＝10⁷，Napier時的正弦長為10⁷sinθ），θ相間1分，從0°列到90°；若sin1'=(1－1/10⁷)ⁿ，則n要大於800萬，要直接計算這麼多次方是不可能的。Napier有種種巧妙的逼近法才使計算變成可能，但整個製表工作仍然浩大無比，前後耗去20年工夫才大功告成。在1614年發表的對數中，Napier卻用運動的觀點來解釋對數。如圖二，設有一直線AB長為r（譬如10⁷或其他整數），一動點C在AB上由A往B移動，假定C點的運動速度等於BC的長度x。又有另一直線DE（【瀏覽原件】方向可以無限延伸），一動點F在其上由D往右做等速運動，速度為r。則DF的長度n就是同一時刻的BC長x的Napier對數。在這種模式中，C點的運動相當於幾何數列，而F點的運動則相當於算術數列。由於Napier生在伽利略及牛頓之前，他所談的速度應該不是瞬間速度，而可能指的是把時間等分成長為1/r的小段後，C點在每一小段上所保持的等速度〔其速度為x；Napier在說明時，用velocities（＝各小段上的各個速度），而不用Velocity，似乎可以肯定這種看法。〕，如此則很容易證得，在第n個時間分點時BC的長度為x=r(1-1/r)ⁿ，而DF的長度為n，由此就得到原有的幾何與算術兩數列（取r=10⁷）。如果速度解釋成瞬間速度，則由微分方程式-dx/dt=x，rt=n可解得【瀏覽原件】。因【瀏覽原件】非常接近【瀏覽原件】，所以這種運動解釋可看成原有觀點的精緻極限化；若r=10¹⁵（十六世紀有人以此為圓半徑，造15位三角函數表），則所用b值【瀏覽原件】更要接近於1/e。 Napier的對數表一經發表，立刻引起廣泛的注意，其中尤以倫敦Gresham書院的Henry Briggs（1561～1631年）更是興致高昂。Briggs於次年親往愛丁堡造訪Napier，二氏在這次會談中。終於看清對數的本質，雙方同意對數不限用於三角函數值，而且在十進位計算中，以10為底的對數表最為方便，這就是常用對數了。可惜這時Napier年事已高，製表工作只好由Briggs及其他人接棒完成。 Briggs的8位常用對數表的造法如下：首先用不斷開方法算得下表【瀏覽原件】設1≦x＜10，在上表中找出最近於（但不大於）x的數【瀏覽原件】，以之除x，得商x₁，即【瀏覽原件】。用同樣的方法處理x₁得x₂,…x_n，即【瀏覽原件】、【瀏覽原件】，{x_n}為遞減而趨近於1的數列。因【瀏覽原件】，所以如果x_n－1只在小數點下第m位才有值，則【瀏覽原件】就會準確到第m－1位小數。（習題：利用上表計算㏒₁₀5到第6位小數。）在計算10的2ⁿ次方根時，Briggs用一種偷巧的辦法：設【瀏覽原件】，則【瀏覽原件】。若α很小，則α²可略去不計，再由兩式消去α，就得【瀏覽原件】，亦即【瀏覽原件】的小數部分為【瀏覽原件】小數部分的一半，這在上表中的右欄就看得出來。有了Napier及Briggs等人花了幾十年的心血，後來的天文學家每個人都可省去一半的時間。以有限的生命換取無窮的時間，這是計算史上的一大手筆。
		回到最上面
科學月刊全文資料庫最佳瀏覽解析度800*600，請使用IE4.0以上版本的瀏覽器科學月刊雜誌社．金台灣資訊事業有限公司．圖龍文化事業股份有限公司版權所有 Copyright 2000 Science Monthly and King-Taiwan Information Technology Inc. All Rights Reserved.