球面三角學簡介（二）

上回說過，有了正弦律及餘弦律，球面三角形就可以迎刃而解。其實，回顧歷史，球面三角學剛發展的時候，那有正弦律及餘弦律的蹤影？正、餘弦律兩位主角還未登台前，在球面三角學的舞台上，領銜主演的卻是Menelaus定理。

Menelaus定理有平面和球面兩者。平面Menelaus定理大家較為熟悉，其內容為：設一直線截一平面三角形ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線於K、L、M（見圖一），則

BK/CK．CL/AL．AM/BM=1

球面Menelaus定理也類似，其內容為：設球面上一直線（大圓弧）截一球面三角形ABC的三邊【瀏覽原件】或其延長線於K、L、M，則

【瀏覽原件】

實際應用時，通常採用的是某些特殊情形下的Menelaus　定理。如圖二，設球面三角形ABC中的C角為90°。把A點看成球面上的一個極點，而其相應的赤道大圓弧交【瀏覽原件】（或其延長線）於K、L、M三點。由極點與赤道的關係知：【瀏覽原件】之弧長剛好與A角相等；【瀏覽原件】之弧長為b=90°-b；【瀏覽原件】之弧長為c=90°-c。因【瀏覽原件】都垂直於【瀏覽原件】，所以若把兩者的交點K看成極點，則AL就是相應的赤道大圓弧。因此【瀏覽原件】之弧長為a=90°-a，【瀏覽原件】之弧長為A=90°-A（A也代表角A）。由Menelaus定理知

【瀏覽原件】

即cos c＝cos a cos b。這是餘弦律cos c＝cos a cos b＋sin a sin b cosC當角C為90°時的特例。

圖二也可以看成有大圓弧ACL截球面三角形KMB的三邊。由Menelaus　定理知

【瀏覽原件】

即sin a＝sin c sin A；同理可得sin b＝sin c sin B。這兩式子都是正弦律當C角為90°時的特例。

對球面直角三角形而言，Menelaus　定理兼具正、餘弦律的內涵，由此可知它曾經扮演過何等重要的角色！

在上面的討論中，已經可以看出極點與赤道兩者相互關係的重要性。我們就以此為討論的焦點。

以A、B、C分別為極點，各作赤道大圓弧【瀏覽原件】，兩兩相交於C'、A'、B'三點（見圖三）。△A'B'C'稱為△ABC的極三角形。反之，因為【瀏覽原件】都垂直，所以A'為相應於【瀏覽原件】的極點；同理B'、C'為相應於【瀏覽原件】的極點，所以△ABC也是△A'B'C'的極三角形，兩者之間有對偶的關係。設【瀏覽原件】（或其延長線）交【瀏覽原件】（或其延長線）於D、E兩點，則因A為【瀏覽原件】的極點，所以角【瀏覽原件】。而因B'、C'各為【瀏覽原件】的極點，所以又有【瀏覽原件】。因此【瀏覽原件】。同理a＝180°－A'，而且其他的邊角也有同樣的關係。把這些關係代入餘弦律

cos c'＝cos a' cos b'＋sin a' sin b' cos C'中，就得

cos（180°－C）＝cos（180°－A）cos（180°－B）

　　　　　　　　＋sin（180°－A）sin（180°－B）

　　　　　　　　  cos（180°－c），

即cos C＝－cos A cos B＋sin A sin B cos c。這是另一種形式的餘弦律，稱為角餘弦律。

在平面三角學中，三個內角並不能決定一個三角形的大小；但在球面三角學中，因為有上面這種特殊的角餘弦律，三個內角定了，三邊就定了，因此三角形的形狀及大小都完全決定了。

球面和平面三角學有相當類似的地方，譬如三角形中大角對大邊，大邊對大角，等角對等邊，等邊對等角等等定理在兩者都成立；又如Menelaus定理、正弦律、餘弦律等都類似。但球面三角形的三內角和要大於180°，角餘弦律成立，三內角決定一三角形等等，所以球面三角學和平面的也有截然不同的地方。

球面直角三角形的邊角關係也比平面的複雜得多。前面說過，當C為90°時，餘弦律、正弦律分別變成

(1)　cos c＝cos a cos b﹐

(2)　sin a＝sin c sin A﹐

(3)　sin b＝sin c sin B。

又在角餘弦律

cos A＝－cos B cos C＋sin B sin C cos a﹐

cos B＝－cos A cos C＋sin A sin C cos b﹐

cos C＝－cos A cos B＋sin A sin B cos c

中令角C＝90°，就得另外三個公式

(4)　cos A＝sin B cos a﹐

(5)　cos B＝sin A cos b﹐

(6)　cos c＝cot A cot B。

由上面(1)至(6)六個公式，可再導得下面四個公式

(7)　sin a＝tan b cot B﹐

(8)　sin b＝tan a cot A﹐

(9)　cos A＝tan b cot C﹐

(10)　cos B＝tan a cot c。

這樣，在球面直角三角ABC（角C＝90°）的三邊a、b、c及兩角A、B中，只要知道其中的兩個量，其他三個量就可以用上面十個公式中的三個求得。解直角三角形的公式可算是十全了。

這十個公式全則全矣，但有誰記得住？對數發明人Napier　先生有如下的記憶絕招：把直角三角形（見圖四）中除C外的五個量，按其位置做成一圈（見圖五），並把斜邊上的三個量，改成其餘角。固定五個量的任一個，譬如a，稱為中間部（middle part），則與其相鄰的兩個量，譬如與a相鄰的b、B﹐稱為相鄰部（adjacent parts）；而不相鄰的兩個量，譬如與a不相鄰的A、c，稱為相對部（opposite parts）。Napier記憶法則說

sin（中間部）＝tan（相鄰部）乘積＝cos（相對部乘積。

譬如　sin a=tan b tanB=tan b cot B

                    =cosA cosc=sinA sin c

就是(7)、(2)兩式。五個量輪流做為中間部，就可以得到所有的十個公式。為了進一步幫助記憶，請注意sin、tan、cos的母音字母i、a、o分別就是middle（中間）、adjacent（相鄰）、opposite（相對）三字的第一個母音字母！

最後我們來看球面Menelaus定理的證明（見圖六）。設O為球心，聯KO、LO、MO，交弦BC、CA、AB於D、E、F。因為D、E、F這三點分別都在平面OML及平面ABC上，所以必同在這兩平面的交線上，亦即這三點共線。在平面上三角形ABC被此直線截於D、E、F，所以依據平面Menelaus定理，我們有

BD/CD．CE/AE．AF/BF=1

把圖六中的扇形OBC單獨拿出來考慮（見圖七），作BB'、CC'各垂直於OK，則

【瀏覽原件】同理

【瀏覽原件】把這些比例關係代入平面的Menelaus定理就得到球面的Menelaus定理。

中學學平面Menelaus定理時，大概沒想到在歷史上它還有這麼多的牽扯！

三內角既然就決定了三角形，球面三角形的面積一定可以表成只和三內角A、B、C有關係的公式。不錯！面積公式為πr²(A+B+C-180)/180，r為球半徑。

習題：南美洲大致是一個球面三角形。看地圖，大致決定三個頂點的經緯度，然後用餘弦律求三邊長（就像在上期中，求台北到芝加哥距離的做法一樣）。然後再用餘弦律求得三個頂角、代入面積公式，就可得南美洲的大約面積。答案：約18,000,000平方公里。

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