魔方陣的性質

筆者八年前曾在科學月刊上發表過一篇「漫談魔方陣」（註），刊出後收到許多讀者來信鼓勵，並且認為我的文章內容不夠詳細。省立鹿港高中的許文燦老師和他的學生林金玲，還寄了一份研究報告「從拉丁方陣到魔方陣」給我，令我十分感激。前年還有一位讀者從美國加州來函，希望我提供更多的資料，但當時我手頭沒有什麼文獻，加上多年來沒有再下工夫，實在力不從心，只有請他直接寄信到「科學的美國人」雜誌，找「數學遊戲」專欄作家嘉德納請教。最近，在清華大學圖書館發現「趣味數學雜誌」（Journal of Recreational Mathematics）十一卷四期（1979年），有一篇文章（作者Leeflang）討論魔方陣及魔術立方體，並在文後列出最新的參考資料。因此決定寫這篇文章，把魔方陣的性質作一個詳細的分析，至於類似的魔術立方體，以後再撰文介紹。只是圖書館裡沒有訂第九卷及更早的「趣味數學雜誌」，有些參考書也沒有，所以這篇文章仍然不夠詳細，尚請讀者指正。

魔方陣是中國人最先發現的，三階魔方陣又稱洛書，已有兩、三千年的歷史。（請參閱科月三卷十期「漫談魔方陣」一文，該文介紹我國古代有關魔方陣的研究，並列有參考資料。）古代的印度人很崇拜魔方陣，許多人在石頭或金屬上刻了魔方陣，作為護身符來避邪。魔方陣何時傳入歐洲，沒有人知道。歐洲最早提到魔方陣的著作，是一位希臘人莫司卓浦魯士（E. Moschopoulos），在康士坦丁堡（今屬土耳其並改名伊士坦堡）大約1300年左右寫的（大英百科全書1957第十四版提到），原稿留在巴黎國立圖書館（編號2428）。中古（十五世紀左右）時代，歐洲的星相家把三到九階魔方陣依次和土星、木星、火星、太陽、金星、水星、月亮對應。法國的學者最先對魔方陣作有系統的研究，貢獻很大。

魔方陣的定義是把由1到n²的整數排成一個方陣（稱為n階），使每一行、每一列，及兩條對角線上n個數字之和都相同。把一個魔方陣旋轉或翻轉，可得八個不同的方陣，但通常只看成是一個解法。一階魔方陣就是1；二階魔方陣很容易證明是不可能的；三階魔方陣只有一種解。數學家Frénicle（1602∼1675）首先在他的著作（死後才出版﹐1693）中指出四階魔方陣共有880種。

魔方陣可依階數是奇數、四的倍數、二的奇倍數（即n=4k+2）等分為三大類。奇數階方陣最好排；最難排的是階數為二的奇倍數的方陣，其一般排列法在「漫」文中提過，但不夠詳細。

勞伯里（De la Loubè re）首創一種極簡易的奇數階魔方陣排列法，舉例說明如下（見圖一）：把1放在方陣第一橫排正中央，把2放在1的右邊一格的正上面一格（請讀者在想像中把方陣的上下邊、左右兩邊黏起來），依次類推到n為止，再把n+1放在n的正下面一格，再重覆到2n為止，這樣一直到填滿為止。

圖一所示的方陣有一種特性，就是把它轉180°後再和原圖重疊，則任何兩個相疊的數字之和是n²+1（這樣的兩個數稱為互補），這一類的方陣稱為對稱（symmetrical）或關聯（associated）方陣。對稱魔方陣的階數必須是奇數或四的倍數（證明見「漫」文）。

哈利（De la Hire）發現了一種利用兩個輔助方陣來排列魔方陣的方法（原來他用三個輔助方陣，但後來別人把他的方法改良只需兩個）。舉例說明如下（見圖二）：當n是奇數時（以5為例），把由1到5這五個數排成方陣，使每個數在每行每列及某一條對角線（例如右上到左下）中剛好出現一次，但另一條對角線上都是3（3是平均數）。排法是先把3放在左上角，再把其他數不必按次序任意放在第一排，再順由左上到右下的方向把每個數重複排入格子中（把方陣右邊和左邊黏起來）。然後再把0、5、10、15、20等五個數依同法（但對角線應選另一條），排出另一個輔助方陣。再把兩方陣相加即得五階對稱魔方陣。

當n是偶數時，哈利法略有不同，以六階為例（見圖三）：

此例選自1955版美國百科全書（Encyclopedia Americana），但1979版沒有提到。第一步從左邊起沿兩條對角線把1到6順序填入。第二步把左邊第一縱行補入一個1和三個6使第一行有三個1及三個6，但次序任意。第三步把右邊起第一行填入和左方相對位置中互補之數（指二數之和為7，即第一行和第六行重疊相加每個數均為7）。第四步用類似方法把2和5填入左方及右方起第二行，以後依此類推。但在上述第三、四步中，必須遵守一個規則，就是若某一縱行在互補位置（指兩格子的次序數之和為7，如第三和第四兩格）兩格子內的數字不同，則方陣中沿左上到右下對角線為對稱的位置上的兩格子，每一格中的數字必須和同行中互補位置之數字相同。例如圖三左第一圖中，第一行第三、四格是6與1，於是對稱位置是第一橫排第三、四格，數字分別是4和3，第三（四）行中互補位置是第六格，格內數字也是4（3）。這樣得到第一個輔助圖。然後把圖中1到6依次用0、6、12、18、24、30來代替，再沿左上到右下對角線轉180°，可得第二輔助圖，兩圖相加即得魔方陣。

上述頭一種哈利法的原理，和希臘拉丁方陣（請

參閱筆者在科月三卷九期所寫「拉丁方陣與尤拉的預言」一文）有密切的關係。一個n階拉丁方陣的定義，是把n個不同的符號填入方陣，使每個符號正好在每一行及每一列中出現一次（但不考慮對角線）。若將兩個拉丁方陣（用兩組不同的符號，例如拉丁字母和希臘字母）重疊後，沒有兩個格子具有相同的符號，則此二方陣稱為「正交」，而合併後的新方陣稱為「希臘拉丁方陣」。若兩個正交拉丁方陣的符號分別為數字集合1、2、3、……、n及0、n、2n、…、(n-1)n，再把兩方陣重疊並將同一格子的兩個數字相加，則所得的希臘拉丁方陣中，由1到n²的每一個數字都正好出現一次，而且每行及每列各數之和均相同。（見圖四）

但上述方法得到的不一定是魔方陣，因為對角線上各數之和不能確定。許文燦及林金玲兩位讀者想到一個方法，就是若能使一個方陣中的兩對角線之和都是1+2+…+n=(n+1)/2；並使另一方陣中，二對角線之和為0+n+…+(n²-n)=(n³-n²)/2，則合併後之希臘拉丁方陣必為魔方陣。圖二就是一例，圖五是另一例。還有一種情形，就是如果每個拉丁方陣本身沿對角線上符號都不一樣，則合併後的希臘拉丁方陣自然而然就是魔方陣，圖六就是一例（圖五及圖六錄自許、林兩位的「從拉丁方陣到魔方陣」）。

在這個希臘拉丁方陣中，很明顯看出每行每列及每一對角線之和都是A+B+C+D+a+b+c+d，只要（a,b,c,d）任意不照次序代以1、2、3、4（或0、4、8、12）；A、B、C、D任意代以0、4、8、12（或1、2、3、4）就得一魔方陣。六階的希臘拉丁方陣已被證明並不存在，但除二及六階外其他階數的希臘拉丁方陣都可找到。不過一般來說，利用希臘拉丁方陣來求魔方陣，在階數為偶數時很麻煩，沒有簡便的規則，許、林二位讀者曾經利用他們的方法，設計了一個八階魔方陣（見圖七）。

當n是偶數時，哈利法比利用拉丁方陣法要方便多了（尤其是當n=4k+2時）。由上述的四個步驟，知哈利法所得的輔助圖（見圖三）不是拉丁方陣，但每行每列及二對角線之和都相同。為了保證兩輔助圖重疊相加後，不致產生兩數相同的情形（如用希臘拉丁方陣則不可能有這種情形），除了上文所述四步驟外，尚須加上一些條件，這些條件以前已經解釋過，它們的必要性很容易證明，請讀者自行補充。

有一類魔方陣稱為鬼方陣（diabolic square）或汛對角線方陣（pandiagonal），也有人稱之為納些克方陣（Nasik是傳教士A.Frost在印度所住地名，在「漫」文中曾詳細介紹過四階鬼方陣）。這種方陣的特點，是若把兩個相同的鬼方陣左右或上下並列，每一排和對角線平行的n個數字之和都一樣。所以把最上（或下）面一排搬到最下（或上）面，或者把最左（或右）一行移到最右（或左），又得到一個新的鬼方陣。還有一類魔方陣稱為半鬼方陣，階數為偶數，兩個半鬼方陣並排時，和對角線隔開一排的平行線上n個數字和都相同，圖八是一例。在880種四階魔方陣中，有48個鬼方陣和384個半鬼方陣，半鬼方陣中有48個又同時是對稱方陣（見圖九）。不過階數大於四時，一般而言，對稱方陣不是半鬼方陣。

有一類魔方陣稱為多層魔方陣（bordered square），即把最外層一行一列移去，剩下的方陣仍是每行每列及對角線之和相同，而且數字是連續的（但不再由1開始），例如圖十。Frénicle　設計了一個九階多層魔方陣，每一層都是一個魔方陣，非常巧妙（見圖十一，抄自十四版大英百科全書）。

由兩個m階n階方陣，可重複排列得一mn階複合魔方陣，圖十二就是一例。3×3＝9作法一目了然，不必解釋。

1862年，Jaenisch　設計了一個武士方陣（見圖十三，抄自大英百科全書）。在西洋棋中，武士的走法和我國象棋的馬步一樣，這個方陣可想像由一武士行走時，依次寫下1、2、……等連續數字而得。西洋棋發源地是印度，據說傳入我國後加上炮，並略加修改規則而成象棋。武士方陣中，每行每列之和為260，只可惜兩條對角線上數字之和分別為264及256。武士魔方陣沒有人找到過，但也不能證明是不存在的（西洋棋盤有64格）。

把一個魔方陣的每一個數字平方可得另一方陣，若此新方陣中每行每列及對角線的和相同，則原來的方陣稱為二次方陣（a spuare of two degrees）。大英百科全書列有一例（見圖十四）。這個例子很特殊，由16個二階方陣拼成，每一小方陣四個數之和為130；而整個方陣的每行每列及對角線之和為260，平方後之和為11180。二次的魔方陣階數至少是八。

1973年，美國數學家徐呂泊爾（R. Schroeppel）在國際資料公司（Information International）當電腦程式計畫員，他用PDP十號計算機花了大約一百小時，把五階魔方陣的總數找出來（請參閱「科學美國人」1973年一月號數學遊戲欄）。五階魔方陣（不計旋轉及翻面）共有275,305,224個。一個五階魔方陣經過下列兩種轉換後，可得四種新的魔方陣：

一、把左、右兩行交換，再把上、下兩排相交換。

二、先把第一、二排及四、五排交換，再把第一行與第二行交換，第四與第五行交換。

若是把這種交換所得各方陣看成同一種解法，則五階魔方陣一共有68,826,306個解。若將一魔方陣的每一數代以互補的數（二數相加為N²+1，五階時為26），可得另一互補魔方陣，對稱魔方陣的互補方陣就是原方陣。若把互補的兩個不同的方陣視為同構（isomorphic），則總數降至大約3,500萬種。若依方陣中央格子的數字分類，則可列一表如下：（互補方陣不看成同一解）

中央格的數字　　方陣總數

1或25　　　　1,091,448

2或24　　　　1,366,179

3或23　　　　1,914,984

4或22　　　　1,958,837

5或21　　　　2,431,806

6或20　　　　2,600,879

7或19　　　　3,016,881

8或18　　　　3,112,161

9或17　　　　3,472,540

10或16　　　　3,344,034

11或15　　　　3,933,818

12或14　　　　3,784,618

13　　　　　    4,769,936

五階魔方陣不計旋轉及反轉，共有3,600個鬼方陣；若行列順序輪換所得鬼方陣視為同一解，則有144解（144×25=3600）。這144種解之中，有16種可排成一個對稱鬼方陣（見圖十五）。

許、林二位讀者想出一種巧妙方法來排出所有的五階鬼方陣。他們利用一個希臘拉丁方陣（見圖十六），這個方陣其實又是鬼方陣，因為它每行每列及和對角線平行的任一排五個數之和都是A+B+C+D+E+a+b+c+d+e。如將A、B、C、D、E任意代以1、2、3、4、5（或0、5、10、15、20）；將a、b、c、d、e任意代以0、5、10、15、20（或1、2、3、4、5），就得一個個不相同的鬼方陣。由排列組合律知，共有2×(5!)²=28800種排法，但旋轉和翻身所得八個不同的鬼方陣視為一種，因此實際上是上述數目除以8得3600。

利用拉丁方陣可以很容易的把鬼方陣有系統地寫出來，下面以質數7為例。七階拉丁方陣最多可有六個互相正交的方陣，圖十七是一例。其中有兩個方陣各有一條對角線上數字重複。剩下四個互相正交的拉丁方陣有一共同特性，就是每行每列及對角線上的七個數字均不相同。我們把0到6的數字看成七個不同的符號。四個方陣任選兩個方法是（7－3）（7－4）／2＝6。這6個希臘拉丁方陣都又是鬼方陣，把符號換以數字各可得2×(7!)²種鬼方陣。再除以8就得到答案。此法可推廣到大於7的所有質數。

當n是比3大的質數時，利用上述方法所得到的鬼方陣總數是(n!)²(n-3)(n-4)/8。這個結果是美國數學家羅塞（Rosser）和華克（Walker）首先在1939年證明的。他們把這一類的魔方陣取名為規則（regular）魔方陣，因為這些魔方陣甚至比鬼方陣還要規則。舉例來說，利用圖十七中頭兩個正交拉丁方陣所排成的規則魔方陣不但滿足鬼方陣的規定，而且沿斜方向（見圖十八，以叉號表示）上的七個數字之和也滿足魔方陣的條件，在圖十八中任何與該斜方向平行（例如向右方挪一格）的七個數字一律符合魔方陣的規定。當n=5時，他們證明所有的鬼方陣必須是規則魔方陣，所以鬼方陣的總數是3600；但是n>5時許多鬼方陣不能利用上述的方法排出來。據筆者所知，七階鬼方陣的總數仍然是個未知數。

註：科學月刊三卷十期48頁，有些地方印錯了。51頁第一段最後一句應為由…到n²的數字…。同頁右邊「有了個負數」中「了」應改為三。圖十三上方及左方分別漏印1及2。

回到最上面

科學月刊全文資料庫

最佳瀏覽解析度800*600，請使用IE4.0以上版本的瀏覽器

科學月刊雜誌社．金台灣資訊事業有限公司．圖龍文化事業股份有限公司版權所有
Copyright 2000 Science Monthly and King-Taiwan Information Technology Inc. All Rights Reserved.