＃發行日期：1980、07
＃期號：0127
＃專欄：
＃標題：微積分史話
＃作者：曹亮吉
．序
．圖一
．圖二
．圖三
．圖四
．圖五
．圖六
．圖七
微積分史話
要學好一門學科，總希望弄清楚它的來龍去脈。微積分是人類文化史上的一大成就，其歷史更是每個現代人該具有的基本常識。可惜一般微積分課本言不及此，或浮光掠影而不能深入，專論微積分歷史的書本又往往深入而不淺出，使讀者迷失於細節發展而昧於主流變化。
這本小冊子適合大一學生之所需，可做為學習微積分的前瞻與回顧，希望借此而對微積分有更深刻的認識。為此，我們只以解析幾何的知識為本，鳥瞰微積分歷史，並附以習題，以收深淺適宜，反覆咀嚼之效。
曹亮吉於台大數學系69年夏天
附，寫作主要參考資料：
1. C. Boyer, "The history of the calculus and its conceptual development", Dover.
2. A. Rosenthal, "The history of calculus", Monthly 58,1951.（楊維哲、蔡聰明編著的「普通數學教程」，文仁事業有限公司，附有其中譯文。）
3. M. Kline, "Mathematical thought from ancient to modern times" 凡異出版社或九章出版社
4.黃武雄等校訂 人怎樣求得面積 人間文化事業公司或數學傳播 二卷二期14─26
近幾世紀以來，科學技術非常發達，究其原因，數學要居首功。舉凡物理、天文、化學、工程、地質、生物等等，甚至社會科學所產生的許多問題，往往要依靠數學工具來解決，而數學工具之中尤以微積分學最為犀利、最具功效。
微積分是微分和積分的合稱。微分是用來研究變化率，而積分是用來求積的（即算曲線長、面積、體積）。但就像乘法和除法一樣，微分和積分兩者之間卻有互為反運算的密切關係，所以必須合起來一起研究，因而合稱為微積分。
本文的主要目的是想從歷史的眼光來探討微分、積分觀念的由來，技巧的演進，微、積分的合流，微積分的用途，其發展中所遭遇到的困難及解決的途徑。
歷史上，積分的觀念比微分的要發展得早，所以我們先從積分談起。
人類進入了農業社會後，因為丈量土地、建穀倉 、築宮室等等的需要，求積的方法就日形重要起來。
首先，人類可能用一日的行程、一頭牛一天可耕過的土地等方法來量長度、算面積。但隨著精確度的要求，長度及面積都必須要有固定的單位。
通常面積都是以某種正方形為單位的（譬如一平方公尺）。由此出發逐步可得一般正方形的面積為一邊的平方，矩形的面積為長乘寬，平行四邊形的面積為底乘高，而三角形的面積則為底乘高之半。因多邊形可分劃成三角形之和，所以其面積也可求得。除了這些圖形之外，最簡單、最吸引人也最實用的可算是圓形了。那麼圓形的面積怎麼求得？在此我們觸到了積分學的源頭了。
「圓形的面積是多少？」「圓周率乘半徑的平方。」 「圓周率是什麼？」「圓周與直徑之比。」「比值是多少？」「3.14」「再精確點！」「3.1416」「再精確點！！」「3.1416……」「…是什麼？」「？」
圓周率通常以希臘字母π來表。大家都知道求圓面積就等於求圓周率。那麼圓周率到底是多少？怎樣求得它的近似值呢？
據史籍所載，四千年前的巴比倫人用31/8做圓周率，同時期的埃及人則用(16/9)2，而三千年前的中國人則用3。其後有用22/7、377/120、√10、3.14等等來代表圓周率。這些都是近似值，有的純由經驗求得，有的則佐以一些理論。此外，最值得稱道的是西元前三世紀的希臘科學家阿基米德（Archimedes, 287∼212 B.C.）算得圓周率介於3(10/71)及
3(1/7)之間，而三國（大約西元260年）時的劉徽，則得其近似值為3.14159。他們的特色是提供一套能夠計算圓周率值精確到任何位數的方法──至少理論上可行。
「窮盡法」
阿基米德的方法是由圓內接正六邊出發，先計算其周長，做為圓周長的一個近似值，然後再由此周長計算內接正十二邊形的周長，做為圓周長更正確的近似值。如此邊數逐次倍增，則所得周長雖仍然小於圓周長，但卻愈接近圓周長。一般而言，單位圓內接正n邊形和正2n邊形兩者周長Sn和S2n之間，有一代數關係【瀏覽原件】，如果前者已知，則後者亦可求。同時阿基米德又用外切正多邊形的周長從外方逼近圓周長。當內接及外切正多邊形的邊數為96時，阿基米德就得到他的圓周率估計值。阿基米德的方法源自所謂的「窮盡法」（method of exhaustion）。古希臘數學家尤多緒斯（Eudoxus,約408∼355 B.C.）就有用已知的面積（或體積）逐漸窮盡某一面積（或體積）的想法，再輔以一些技巧而證明了「兩圓面積之比等於其半徑平方之比」，「兩球體積之比等於其半徑立方之比」，「圓錐的體積為同底等高圓柱體積的三分之一」等定理。
劉徽則用正多邊形的面積來逼近圓面積，當邊數增加到3072時就得到他的近似值。這種逼近方法原理雖然簡單，但計算時要不斷開平方，過程非常繁複。南北朝的祖沖之（429∼500）居然算到16384邊，而得知圓周率介於3.1415926與3.1415927之間。
這種圓面積的算法雖然繁複，但其逼近的原理卻發展成了積分學。（關於圓周率，可參考科學月刊68年8、9、10三月的「益智益囊集」或Petr Beckmann原著，姜家齊、朱建正、林聰源合譯的「π的故事」，凡異出版社。）
習題
1.平行四邊形、三角形的面積公式如何求得？
2.你怎樣使別人相信圓的面積等於圓周率乘半徑的平方？
3.設Sn（或Tn）是半徑為1的內接（或外切）正ｎ邊形邊長。試求以Sn（或Tn）表S2n（或T2n）的公式。
4.求S96及T96之值；由此驗證阿基米德的估計【瀏覽原件】。
５．設An（或Bn）是半徑為1的內接（或外切）正ｎ邊形面積。試求以An（或Bn）表A2n（或B2n）的公式。
6.求A2n與Bn的關係，並由此比較用正多邊形周長及用其面積逼近孰優孰劣。
7.求Bn與Tn的關係。
8.求A3072與B3072，並由此驗證劉徽的估計π＝3.14159。
9.請你想想祖沖之算圓周率時所可能遭遇到的困難
10．試證A2n為An及Bn的幾何平均，而B2n為A2n及Bn的調和平均。
11.若Pn，Qn分別表圓內接及外切正ｎ邊形的周長（即Pn=nSn，Qn=nTn），則Q2n為Pn及Qn的調和平均，而P2n為Pn及Q2n的幾何平均。
窮盡法雖然創自尤多緒斯，但大大發揚光大的就要數阿基米德了。阿基米德除了求圓周率的近似值外，還巧用窮盡法求得許多面積和體積。現在我們來看他如何求得拋物線的弓形面積。
如圖一，AB為拋物線的一割線，自其中點作直徑（平行於拋物線軸的直線叫做拋物線的直徑）交拋物線於C，則阿基米德證明了弓形ACB的面積要等於△ABC的4/3倍。
「窮盡」
首先，他證明了弓形ACB可以被一連串的三角形所「窮盡」。這一連串三角形的作法如下：從AC、BC的中點K、L各作直徑，分別交拋物線於P、Q，得三角形△APC、△BQC填充於弓形與△ACB之間的空隙處。依同法，從AP、CP、CQ、BQ的各中點作直徑交拋物線於四點，而又可得四個三角形填充於所剩下的空隙。如此反覆進行，就可以得到一連串的三角形。那麼這一連串的三角形能〔窮盡」弓形面積嗎？也就是問，能把空隙填滿嗎？用眼睛看顯然不成問題，但阿基米德還是給了一個證明：如圖二，過C點作切線，則此切線平行於AB；過A、B作直線平行於CM，分別交切線於D、E，則得平行四邊形ADEB。因此【瀏覽原件】。同理可證△APC>1/2弓形APC，△BQC>1/2弓形BQC。一般而言，每一新階段所作的三角形都能把剩下的空隙填掉一半以上，所以這一連串的三角形終究能把弓形窮盡。
「求和」
第二步要證明這些小三角形的面積和△ACB有著簡單的關係。阿基米德證明了△APC=1/8△ACB、△BQC=1/8△ACB。如果△ACB的面積為A0，則第一次填空隙的兩個三角形其面積和為1/4A0。同理，第二次填空隙的四個三角形每個面積都等於第一次填空隙所用三角形（如△APC）的1/8，所以總面積和A2=1/4A1=1/16A0。如此類推，第n次填空隙的三角形面積和An等於1/4nA0。所以弓形面積等於【瀏覽原件】．
「間接證法」
這不就得證了？但慢著，上面的計算用了無窮等比級數的和公式【瀏覽原件】，而阿基米德時代的人們只會求有限項等比級數的和。所以為了證明弓形的面積確實等於4/3△ACB，他用窮盡法中典型的間接證法做了第三步的討論：
由等比級數的和公式知
【瀏覽原件】…… (1)
假如弓形的面積A大於△ACB，則因諸An可以窮盡A，所以當n夠大時，A0+A1+A2+…+An會落在4/3△ACB及Ａ之間﹐即4/3△ACB<A0+A1+A2+…+An＜A；但由先前的(1)式知A0+A1+A2+…+An應小於4/3△ACB，故得矛盾。反之，如果A小於4/3△ACB，則可以選很大的n，使得
An=1/4nA0＜4/3△ACB-A ……(2)
但由(1)式，得
4/3△ACB-(A0+A1+A2+…+An)=1/3An＜An ……(3)
比較(2)、(3)兩式，得A0+A1+A2+…+An＞A，這又是個矛盾。既然A＞4/3△ACB或A＜4/3△ACB的假設都不對，A當然就得等於4/3△ACB了。
當然，實際上阿基米德是求得了無窮等比級數的和，但因為他沒有明確的極限觀念，不能由【瀏覽原件】的等比級數和公式，一下子跳到【瀏覽原件】的結論。（即愈加愈多時，【瀏覽原件】變得愈來愈小，終致消失。）事實上，在那時代，大家還不會處理負號，所以上面的說明及計算中，凡有負號的都要移到等號的另一邊，這更使我們了解阿基米德論證之不易。
「致命傷」
除了拋物線的弓形面積外，阿基米德還用窮盡法求得很多面積和體積（譬如球面的面積和球體的體積等）。因為情況的不同，阿基米德用的窮盡辦法也不一樣，譬如在窮盡拋物線弓形面積時，他就利用了不少拋物線所特有的性質。所以在求各種面積（體積）時，窮盡的原理雖然相同，其方法卻未能統一，這是窮盡法的致命傷。阿基米德之後，後繼無人，將近兩千年之間，求積的方法居然沒有什麼進步。
「方法」
其實，阿基米德另有方法來補窮盡法之不足。為了知道某一面積該是多少，他把該面積想成是由無窮線條所組成（見圖三AB），然後技巧地應用槓桿原理求得了面積。但他認為這種方法不夠嚴密，所以知道了面積之後，再用傳統的窮盡法加以證明。
用現在積分學的眼光來看，他用槓桿原理求面積的方法並沒有什麼不嚴密之處；只是當時對「無窮」及「線條」沒有明確的觀念罷了。
阿基米德把如何用槓桿原理求積的方法寫在一部叫做「方法」（The Method ）的書上。可惜這本書消失了兩千一百年之久，直到1906年才重新出現。但求積歷史發展的結果，卻與阿基米德把面積看成由無窮個線條所組成的看法吻合。一旦大家弄清楚了「無窮」個「線條」（寬為「無窮小」的矩形）之「和」，也就是積分學成熟的時候。
槓桿原理和求積扯得上關係？這是槓桿原理開山祖師阿基米德的一項傑作，詳情請參考數學傳播二卷二期，李宗元的文章「亞基米德的秘密」。
習題
第一、二、三題都是阿基米德用過的性質。你能不用解析幾何的方法證明嗎？（阿基米德不懂任何解析幾何！）如果不能，用解析幾何如何？如果還不能（第二題），則只好等學會微分了。
1.如果拋物線的一直徑等分某割線，則必等分平行於該割線的任一割線。
2.在圖二中，DE//AB。
3.在圖一中，△APC=1/8△ACB
4.仿阿基米德的間接證法（即前文中的第三步）證明1/2+1/4+1/8+…+1/2n+…=1。
5.聯△PQR三邊的中點成一三角形KLM（見圖四）。此三角形稱為原三角形的中點三角形。做△PML、△QMK、△RKL的三個中點三角形填充於△PQR及△KLM之間的空隙。問如此反覆做出的諸中點三角形能否把原三角形窮盡？
6.請用級數證明下面的「窮盡」原理：固定一面積A及一正整數k，假設從A中先除去不小於1/kA的面積，再從剩餘的部分除去不小於1/k的部分，如此反覆進行，除去的總面積終於要和A相等。
7.討論「窮盡」的意義。把一面積「窮盡」，是否要把面積內的每一點都填滿？
阿基米德之後，後繼無人，直到文藝復興時代，古希臘之學逐漸受西方重視，科學漸興，求積問題才引起很多人的探討。
為了求得更多的面（體）積，大家放鬆對嚴謹的要求，幾乎捨棄了阿基米德步步為營的精神。這之中經得起考驗而日後成為積分學主要思潮的有兩種方法，其一就是把面（體）積看成由無窮線條（薄片）所組成的無窮小方法；另外一個是經過改良的窮盡法一一動態窮盡法。第一種方法訴諸直觀，雖然論證欠缺嚴謹，卻予積分學的發展很大的動力；第二種則論證較嚴謹，終于使求積方法有了深厚的數學基礎。
在這一節裡，我們先看無窮小與求積的關係。
「無窮小」
無窮小的觀念起源很早，到文藝複興以後，用它求積的人很多，且看法、求法各有千秋，我們只能舉幾位代表性人物，如刻卜勒（J. Kepler, 1571∼ 1630）、伽利略（G. Galilei, 1564∼1642）及卡法里約利（B. Cavalieri, 1598∼1647）等人。
刻卜勒認為圓是個無窮邊正多邊形，所以圓面積等於無窮個無窮小三角形的面積和。每一三角形的高為圓的半徑，而其無窮小的底邊則在圓周上。因為每一三角形的面積為1/2×半徑×底，所以這些三角形的面積和為1/2 ×半徑×圓周。同理，他認為圓球是由無窮小的圓錐體所組成，每一圓錐體的頂點就是圓球的球心，高就是半徑，而底面積（無窮小）則在球面上，由此可推得圓球體積為1/3×半徑 ×球面積。除此之外，他還求得一些面積和旋轉體的體積。
「距離與面積」
伽利略在討論等加速運動時，用無窮小的論證法證明時-速曲線下的面積就是距離，這是求積的應用跨出純粹求積範圍的一大步。他的想法如下：設一物的運行速度ν和時間t的關係為ν=32t，則在t-ν坐標中，該關係由一直線OB所表（見圖五）。在任一時刻A'的速度等於A'B'長，所以在此時刻所走的距離為A'B'長乘以「無窮小」的時刻，即「線條A'B'的面積」。當時間由O變到A時，線條A'B'也逐次由O變到AB，所以總距離為諸線條A'B'「面積」之和，也就是△OAB的面積。設A點的坐標為t，則距離＝△OAB的面積＝1/2×t×32t=16t2速度是距離的變化率，而將速度函數「求積」則回到距離函數，這種求積與變化率的互逆關係，就是所謂的微積分基本定理。當然，那時候時機還未成熟，伽利略沒辦法有這麼深刻的認識。
以嚴謹的眼光看無窮小方法，會發現它有種種的困難，譬如，什么是無窮小﹖無窮個無窮小的和又是什麼意思？雖然很多人想辦法要把這些幾何觀念嚴密化，但一直沒有成功。直到最近經羅賓生（A. Robinson, 1918∼1974）等人的努力，無窮小的觀念才有了數學基礎。但要深入了解無窮小的數學，卻需要有些邏輯學的訓練，一般人是否能經由此途徑學得微積分，還有待時間的考驗。
無窮小方法雖然身分一直不明，但若謹慎使用，用處也很大，所以深受數學家的歡迎，譬如，卡法里約利就用無窮小的方法推算出很多面積。但是許多人對其不嚴密性深感不安，而另謀發展途徑，其中最有成就的是下一節要談的動態窮盡法。
「卡式原理」
無窮小方法除了提供直觀看法外，還留下一條非常有用的卡氏原理（Cavalieri Principle）。卡氏原理不但是直觀的產物，而且是可用現代微積分學證明的一個定理。我們先用一個例子來說明卡氏原理的大意。如圖六，設△ABC、△DEF等底等高，我們可用無窮小方法證明其面積相等：設B'C'、E'F'為分別平行於BC、EF的直線，且距底邊等高，則由比例可知B'C'＝E'F'。既然△ABC、△DEF分別由相等的線條B'C'、E'F'所組成，所以兩三角形應該有同樣的面積。
卡法里約利所提的原理可由下面兩段文字來表示。
一、如果兩立體具有同樣的高度，而且與底等高且平行於底面的截面積兩兩成固定的比值，則這兩個立體的體積比等於該固定的比值。
二、如果兩面積具有同樣的高度，而且與底等高且平行於底線的截線長兩兩成固定的比值，則這兩個面積的比等於該固定的比值。
可注意者，卡氏原理雖由直觀而得，但其內容卻不含任何曖昧字眼（如無窮小等）；用現代的眼光來看，它是個定理。反覆利用這個原理，卡氏證明了圓錐體的體積為同底等高圓柱體體積的三分之一。
不但西方有卡氏原理，中國也有，而且要早千年之久。南北朝時的祖沖之就一再巧用這個原理，不用現代微積分技巧，就求得球體體積的公式（請參考數學傳播一卷四期，李宗元的文章「祖沖之、球體公式及其他」）。卡氏原理也應該叫做祖氏原理！
我們現在用這個原理來求橢圓的面積。
例：若橢圓的方程式為x2/a2+y2/b2=1，則其面積為πab。
證：如圖七，以橢圓的短軸為半徑做圓。我們要用卡氏（祖氏）原理來比較橢圓和圓的面積。作任一直線平行於長軸而得橢圓的截線﹕LL'及圓的截線MM' 。由坐標的計算知LL'/MM'=a/b，為固定比值。所以由卡氏（祖氏）原理知橢圓面積/圓面積=a/b，即橢圓面積=a/b圓面積=a/b πb2=πab習題
1.用我們習知的公式，說明刻卜勒所得球體體積及球面面積間的關係是正確的。
2.設兩拋物線y=2x-x2及y=-2x2+12x-16與ｘ軸所圍成的面積各為A及B，試用卡氏原理求A 與B之比。又，用§2的結果求A及B。
3.把文中求橢圓面積的證明補足。
4.用卡氏原理求橢圓體x2/a2 +y2/b2 +z2/c2=1 的體積
5.若已知金字塔的體積公式為1/3×底面積×高，試求圓錐體的體積公式。
6.下面是一種求金字塔體積公式的方法：(1)將一正立方體等分成三份，每一份成斜金字塔形，其底為正立方體的一面，其高為正立方體的一邊。(2)將一般的金字塔和這種特殊的斜金字塔相比。
7.將伽利略的論證推廣，說明任一時-速曲線（不一定直線，即不一定是等速運動）下的面積就是距離。
8.下面是一種求圓球體積的方法：考慮高及半徑各等於圓球半徑的圓柱體。考慮以該圓柱體頂面為底，圓柱體底面中心為頂點的圓錐體。將圓錐體從圓柱體中除去後所剩下的體積和半球體體積相比即得。（待續）
曹亮吉現任教於台大數學系，本刊編輯委員。
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